Функції. Урок Похідна
Фрагмент посібника
Інноваційні інформаційно-комунікаційні технології навчання математики: навч. посіб. / В. В.
Корольський, Т. Г. Крамаренко, С. О. Семеріков, С. В. Шокалюк ; наук. ред. М. І. Жалдак. –
Вид. 2, перероб. і доп. – Кривий Ріг : Криворізький держ. пед. ун‑т, 2019.
___________________________________
Розглянемо, як використовуючи GeoGebra, обчислити точки екстремумів та екстремуми функцій. Якщо у рядку введення записати команди Екстремум( <Поліном> ) чи Екстремум( <Функція>,
<Початкове значення x>, <Кінцеве значення x> ), то після їх виконання у переліку об’єктів з’являться координати екстремумів, а на полотні побудови – їх зображення. Щоб при цьому був побудований графік, потрібно додатково виконати команду Функція.
У результаті виконання команди Екстремум[x^3-x] отримаємо
пару точок: (-0,58; 0,38), (0,58; -0,38). Абсциси цих точок – наближені
значення точок екстремумів функції, а ординати – екстремуми функції. Щоб побудувати
графік, скористалися командою Функція
Задайте функцію. Дослідіть як залежать властивості функції від властивостей першої її похідної.
Дослідження властивостей функції за її першою похідною
Дослідження властивостей функції за допомогою першої похідної
Функція Дослідження властивостей функції за її другою похідною
Дослідження властивостей функції, вигляду графіка за другою похідною функції.
Вивчаючи похідну, корисно провести за допомогою GeoGebra дослідження, які допоможуть глибше усвідомити сутність цього поняття, з’ясувати геометричний зміст похідної, «відкрити» теореми про необхідну умову існування локального екстремуму; достатню умову монотонності функції; висунути
гіпотези стосовно зв’язку, який існує між знаком другої похідної функції та
опуклістю графіків функції.
Побудувати в одній системі координат графіки функції та її першої похідної; графіки функції та її другої похідної.
Відзначимо, що при дослідженні за допомогою GeoGebra можна обчислити похідну вказаного порядку для введеної функції (Функції / Похідна). При цьому буде автоматично побудовано графік похідної.
Розглянемо кубічний многочлен. Для дослідження за
допомогою GeoGebra вводять у рядку команд для кубічного многочлена вираз a*X^3+b*X^2+c*X+d. Об’єкт буде автоматично позначено
f. Далі для обчислення першої
похідної вводимо вираз Похідна(f),
для другої похідної - вираз Похідна[f,2], вказавши поряд з функцією порядок похідної для
обчислення. Доцільно на графіку функції обрати точку і через неї провести
вертикальну пряму до перетину з графіком похідної (рис. 2.54). Для виявлення зв’язку між
функцією та її другою похідною, доцільно побудувати дотичну до графіка функції
і відстежувати, як розташований графік функції по відношенню до графіка дотичної (рис. 2.55).
У ході лабораторної роботи в комп’ютерному класі чи
евристичної бесіди учні/студенти аналізують побудовані графіки, порівнюють проміжки
монотонності функції та проміжки знакосталості першої похідної, проміжки
опуклості графіків функцій та проміжки знакосталості другої похідної,
співставляють нулі похідної та точки екстремумів, нулі другої похідної та точки
перегину. Пропонуємо низку запитань і підводимо до формулювання необхідної та
достатньої умов існування екстремуму, до складання алгоритму дослідження на
монотонність та екстремуми, на опуклість графіків функцій та точки перегину
графіків.
Досліджуючи функцію на
монотонність та екстремуми, заповнюють таблицю, у якій фіксують проміжки
монотонності функції, точки екстремумів, екстремуми, проміжки знакосталості
похідної, критичні точки (стаціонарні точки і точки з області визначення, в
яких похідна не існує).
У процесі дослідження на опуклість графіків функцій заповнюють таблицю, в якій фіксують проміжки, на яких графік опуклий вгору, вниз, точки перегину, проміжки знакосталості другої похідної, нулі другої похідної.
Дослідникам слід надавати диференційовану допомогу. Щоб
простіше було аналізувати графічні образи, можна запропонувати підказки у
вигляді незакінчених речень. Наведемо приклади таких речень.
§
Якщо а
– точка екстремуму, то похідна, якщо вона в цій точці існує, ...
§ Якщо диференційовна
функція зростає (спадає), то перша похідна ...
§ Критична точка буде
точкою максимуму (мінімуму), якщо ...
§ Диференційовна
функція зростає (спадає) тоді, коли похідна ...
§ Якщо а – точка перегину,
то друга похідна ...
§ Якщо графік двічі
диференційовної функції опуклий вгору (вниз), то друга похідна за умови, що
вона існує, буде ...
§ Точка а тоді буде
точкою перегину, якщо ...
§ Графік двічі
диференційовної функції тоді опуклий вгору (вниз), якщо друга похідна ...