Abstand von Geraden: Der Weg über die Hilfsebene
Die Idee der Hlfsebene
Wir beginnen unsere Überlegung wieder mit 2 windschiefen Geraden.
Die Grundidee des Konzeptes der Hilsebene ist, daß man eine Ebene durch eine Gerade legen kann, derart, daß sie parallel zur zweiten Gerade ist. Das bedeutet, daß ihr Normalenvektor snkrecht auf beiden Geraden stehen muß. Im Lambacher Shweizer wird das durch 2 Skalarprodukte bewerstelligt.
Da uns das Mittel des Kreuzproduktes zur Verfügung steht, verwenden wir diesen einfacheren Weg.
Abstandsberechnung mit dem Konzept der Hilfsebene
Im Applet unten können Sie mit dem "Aktualisieren Button" die Geraden immer wieder neu verwenden, die Parametergleichungen werden dann jeweils passend eingeblendet.
Betrachten Sie die Geraden unter unterschiedlichen Perspektiven und blendenSie mit den Checkboxen die Stütz- und Richtungsvektoren ein.
Den paarweise auf den Richtungsvektoren senkrechten Vektor können Sie dann zur Übung mit dem Kreuzprodukt bilden und Ihr Ergebnis mit dem eingeblendeten vergleichen.
Die Hilfsebene durch die erste Gerade parallel zur zweiten Gerade
Wie können Sie nun die gesuchte Ebene aufstellen?
Die abschließende Abstandsberechnung
a) Was gilt für den Abstand aller zur Ebene parallelen Gerade? b) Was hat dies für die Abstandsberechnung zur Folge
Fazit:
Die Berehnung des Abstands zweier Geraden kann über eine Hilfsebene erfolgen. Der Ablauf ist wie folgt:
- Kreuzprodukt der Richtungsvektoren liefert den Normalenvektor der aufzustellenden Ebene
- Die Ebenengleichung kann dann mit dem Stützvektor einer Gerade und dem Normalenvektor aufgestellt werden
- Da alle Punkte der anderen Geraden den gleichen Abstand zu dieser Ebene haben, kann ein beliebiger Punkt dieser Gerade (i. A. gebildet durch den Stützvektor) ind die Ebenengleichung eingesetzt werden. Die so aufgestellte Hessesche Normalenform liefert direlt den Abstand der beiden Geraden
Übungen
Durch den Aktualisieren Button können Sie beliebig viele Geraden generieren. Berechnen Sie den Abstand mit den 3 vorgestellten Techniken -Sie können Ihr Ergebnis so selbst verproben. Außerdem können Sie den Abstand im Applet jeweils einblenden.