８．２次関数 の最大・最小
★頂点とあと１つの条件から
★３点を通る２次関数
１．2次関数の決定
このページは電子ブック「探求 数学Ⅰ」の一部です。
＜頂点を利用する＞
ｙ＝ax2の頂点（0,0）をｘ軸方向にｐ，ｙ軸方向にｑ移動した２次関数とすると、
2次の係数はそのままで、ｘをｘ−ｐに変え、ｙをy−qに変えた式になり、
頂点(p,q)を通る、２次関数の式は標準形y=a(x-p)2＋qとなる。
通る頂点が具体的にわかっているときは、aだけが未知数だ。
あと１つ情報がaが決められる。
ごく、まれですが、問題のための問題をつくると、
定義域の端の値に「＝」が入らないときは、１次不等式の解の範囲と同様に、
その値には近づくがその値にはならない。だから、図形の上では端の値域があるのに、
数値の上では対応する値がないことがおきる。だから、最大、最小値が値としてはないこともある。
このような細かな設定に対応するために、定義域に＝があれば●、なければ◯をつける。
これをルールとして作業するとよい。
（例）点（１，２）が頂点の2次関数はy＝a(x-1)2+2とおける。
（例）x軸に接する2次関数なら、
頂点を仮に、（p,0)として、y=a(x-p)2とおける。
（例）ｘ＝３が軸の２次関数なら、
頂点を仮に、(3,q)として、y=a(x-3)+qとおける。
＜頂点を利用しないとき＞
・２次関数の頂点座標を使わない一般形y=ax2+bx+cとして３未知数a,b,cを求めよう。
だから、グラフ上の３点の座標から連立方程式で求められる。
頂点はｘの式を平方完成すれば求められる。
やはり、y=a(x-p)2＋qの形にたよることになる。
・２次関数がｘ軸との交点がわかる形ｙ＝c(x-a)(x-b)という式で与えられているならば、
ｙはｘ＝aまたはx＝bで０になるから、ｘ軸上のA(a,0),B(b,0)を通ることがわかる。
軸は線分ABを垂直に２等分するので、ｘ＝(a+b)/2となる。
★因数分解からグラフをイメージしよう
2.２次関数の最大値と最小値
＜定義域と値域＞
ｘの変域を定義域という。
ｙの変域を値域という。
＜下に凸の２次関数の最大・最小＞
変域が軸のｘの値を含まない場合、
変域の両端に対応するｙの値が最大値、最小値の候補になる。
変域に軸のｘの値が含まれる場合、
頂点のｙ座標が最小値となる。最大値の候補は上記と同様。
文字が２種類あるときや、高次式の最大最小では、置き換え・代入により１文字の２次関数にしよう。
（例）
「第１象限で、3x+2y=1のときのｔ＝3x2+4y2の
最大値と最小値（そうなるときのｘ）」は？
陰関数形では見通しが悪いので、１変数についての陽関数形にして、変数を統一する。
直線のグラフはx切片が1/3、y切片が1/2で、第１象限なので、xは0以上で1/3以下。
これがｔの定義域となるね。
t(x)=3x2+4((1-3x)/2)2=12x2-6x+1=12(x-1/4)2+1/4。
対称軸ｘ＝1/4はｘの変域の右はしｘ＝1/3の方に近いから、左はしのｘ＝０で最大になる。
最小値は対称軸で頂点のｙ座標。
つまり、最大値はt(0)=1。最小値は頂点のy座標t(1/4)=1/4。
（例）
「ｘ2-2xy+2y2=1を満たすｘ，ｙのｋ＝ｘ＋ｙの
最大値と最小値（そうなるときのｘ）」は？
y=k-xと変形して代入するとf(x)=x2-2x(k-x)+2(k-x)2-1=5x2-6kx+2k2-1＝0の判別式D/4=(-3k)2-5(2k2-1)
=-k2+5が０以上のときに解をもつから、ｋがー√5以上√5以下となる。
kの最大値√5のとき、f(x)=0は重複解x=3√5/5。kの最小値-√5のとき、f(x)=0は重複解x=-3√3/5
＜上に凸の２次関数の最大・最小＞
変域が軸のｘの値を含まない場合、変域の両端に対応するｙの値が
最大値、最小値の候補になる。
変域に軸のｘの値が含まれる場合、頂点のｙ座標が最大値となる。
最大値の候補は上記と同様。
＜相対的に変域が移動する場合の最大・最小＞
変域が固定されていて、グラフが移動する場合、
グラフが固定されて、変域が移動する場合、
どちらにして、グラフからみれば、相対的に変域が移動する。
グラフを移動して考えるのは書く手間もかかるし、イメージもしにくい。
だから、グラフの対称軸を固定して、定義域の区間が移動するという順番で
場合わけすれば、図もかきやすいし、イメージもしやすいでしょう。
固定幅の定義域でのグラフ移動では、
対称軸が定義域の中にあるか、どっちに外れるかの３つに場合わかしよう。
（例）
「頂点が(a,a)のｙ＝f(x)=(x-a)2+aの最小値m
（定義域がのとき）をaの関数式にする」と？
a<=0なら（対称軸x=aが定義域のはしのｘ＝０以下）
最小値は定義域のはしのｘ＝０のときのｆ(0)だから、
m(a)=f(0)=a2+a
2<=aなら（対称軸x=aが定義域のはしのｘ＝２以上）
最小値は定義域のはしのｘ＝２のときのｆ(2)だから、
m(a)=f(2)=(2-a)2+a=a2-3a+4
のこりの場合（aは０と２の間にあると、対称軸が定義域からはみ出ない）
最小値は対称軸x=aのときの頂点のｙ座標になるから、
m(a)=f(a)=a
★最大値と最小値を対応表で確認しよう
★最小値の変化を感じよう
３．演習
最大最小は平方完成して、軸と頂点を求めよう。
軸が定義域の中にあれば、頂点で最小か最大。
どちらになるかは、２次の係数で下に凸か上に凸かで判断できるね。
また、軸が定義域の中点より右か左に偏っていると、定義域の端の関数値で最大か最小。
＜最小値の最大化＞
（例）
「y=x2-2ax+2a+1の定義域を０以上３以下のときの最小値の最大値」は？
平方完成f(x)=y=(x-a)2-a2+2a+1の軸x=aと頂点（a,-a2+2a+1)
軸ｘ=aが０以上３以下なら、最小値f(a)=-a2+2a+1=-(a-1)2+2
軸ｘ=aが３より大なら最小値f(3)=-4a+10。軸ｘ＝aが０より小なら、最小値f(0)=2a+1
だから、この３つのグラフをつなぐとm(a)は０以上３以下で上に凸で頂点(1,2)で最大。
残りの範囲では左右とも、負の無限大に向かう直線になる。最大値は２(a=1で)
＜２変数関数の変化＞
（例）
「第一象限でx+y=1のときの2x2+y2の最大・最小値」は？
y=1-xを代入すると、M(x)=2x2+(1-x)2=3x2-2x+1=3(x-1/3)2+2/3は軸がx=1/3で頂点が(1/3, 2/3)
1-xが０以上となるｘは１以下だから、ｘの変域は０以上１以下。だから、軸ｘ=1/3が入る。
下に凸だから、ｘ=1/3,y=2/3のとき、最小値2/3。
変域では１/3は中点1/2より小さいから、最大値はｘ＝１のときM(1)=2・12+(1-1)2=2。
＜最小値の最小化＞
（例）
「ｘ，ｙが実数のときf(x)=x2-2xy+3y2-2x+10y+1の最小値の最小値」は？
ｘについて整理してy=tとおくと、f(x)=x2-2(t+1)x+3t2+10t+1＝(x-(t+1))2+2t2+8tの軸ｘ＝t+1と頂点
(t+1,2t2+8t）下に凸だから、最小値は2t2+8t=2(t+2)2-8で、t=-2で最小値-8になる。