Desafío 2: El triunfo de la anti-derivada.
Seguimos con nuestro enfoque histórico
Algo en lo que debemos tener certeza: El cálculo de la integral como el área debajo de una curva mediante la aproximación de rectángulos, como sea que los dispongamos en el área a medir, es una solución interesante, pero muy engorrosa en su proceso; no es fácil calcularla; y si hasta allí hubiesen llegado los esfuerzos, entonces ninguna utilidad practica hubiera sido posible obtener de ella. Es por eso que debemos detenernos y observar bien de cerca el cambio de época, como un cambio radical de paradigma. Los antiguos que exploraron diversas técnicas y posibles soluciones, quedaron a un lado del camino, cuando se hizo el revolucionario planteamiento del área bajo una curva bajo el equivalente problema de la antiderivada (como fue planteado por Newton) (Squire, 1970, p. 1).
Sin embargo, no queremos decir que el asunto del área como la convergencia de sumas de áreas más fáciles de calcular fue abandonado, de ninguna manera. De hecho, hasta la fecha, se han creado más de 100 tipos de integrales (¡Ah! ¿Creías que Riemann fue el único?). De hecho, hay una solución, presentada por el gran matemático francés Henri Lebesgue, que es incluso, más eficiente que la solución de Riemann. De hecho, Lebesgue presentó a finales del siglo XIX, una formulación de las condiciones que toda integral de una función acotada debe cumplir:
Condiciones que ninguna de las más de 100 integrales ideadas (por ponerles algunos nombres: Newton, Cauchy, Riemann, Darboux, Harnack, Cauchy-Riemann, Lebesgue, Stieltjes, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, Denjoy, Perron, Henstock-Kurzweil, McShane, C-integral, Pfeffer, BV-integral, Haar, Radon, Daniell, Burkill, Itô, Hellinger, Kolmogoroff, Khinchin, Bochner, Dunford, Pettis, Bartle, Gelfand, Wiener, Feynman, y otros) han podido satisfacer juntas. (Squire, 1970, p. 4).
Nos vamos a ocupar ahora, de la conexión interesante que existe entre, por un lado el problema del área bajo la curva, gráfica de una función, y por otro lado, el de la primitiva o antiderivada de dicha función.
- Squire, W. (1970). Integration for Engineers and Scientist. New York: American Elsevier
Publishing Company.
Condiciones que ninguna de las más de 100 integrales ideadas (por ponerles algunos nombres: Newton, Cauchy, Riemann, Darboux, Harnack, Cauchy-Riemann, Lebesgue, Stieltjes, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, Denjoy, Perron, Henstock-Kurzweil, McShane, C-integral, Pfeffer, BV-integral, Haar, Radon, Daniell, Burkill, Itô, Hellinger, Kolmogoroff, Khinchin, Bochner, Dunford, Pettis, Bartle, Gelfand, Wiener, Feynman, y otros) han podido satisfacer juntas. (Squire, 1970, p. 4).
Nos vamos a ocupar ahora, de la conexión interesante que existe entre, por un lado el problema del área bajo la curva, gráfica de una función, y por otro lado, el de la primitiva o antiderivada de dicha función.
- Squire, W. (1970). Integration for Engineers and Scientist. New York: American Elsevier
Publishing Company.
¿Cómo abordar la relación entre el área bajo la curva y la antiderivada, de forma dinámica?
El applet que les traigo tiene las siguientes características:
1. Hay una ventana a la izquierda, donde podemos ingresar la función que nos plazca (les recomiendo que no sean funciones de integral muy engorrosa). En dicha ventana tendrán un punto x que pueden mover con el cursor:
Ventana izquierda con el punto móvil
2. A la derecha, tienen otra ventana. En ella es donde van a aparecer (cuando quieran y den clic a los botones de control que están abajo), tanto la antiderivada de la función que ingresaron, como la antiderivada trasladada - F(0) unidades; además, tendrán una copia del punto x moviéndose de forma sincronizada al primero:
Ventana derecha mostrando 1) copia del punto móvil de la
ventana izquierda y 2) punto de color negro, que sintetiza
la posición del punto azul móvil y el valor del área bajo la curva
3. Las coordenadas del punto de color negro de la ventana de la derecha son:
4. Puedes visualizar ambas funciones y verificar con cuáles coincide la trayectoria del punto negro de la ventana de la derecha.
Ventana izquierda con el punto móvil
2. A la derecha, tienen otra ventana. En ella es donde van a aparecer (cuando quieran y den clic a los botones de control que están abajo), tanto la antiderivada de la función que ingresaron, como la antiderivada trasladada - F(0) unidades; además, tendrán una copia del punto x moviéndose de forma sincronizada al primero:
Ventana derecha mostrando 1) copia del punto móvil de la
ventana izquierda y 2) punto de color negro, que sintetiza
la posición del punto azul móvil y el valor del área bajo la curva
3. Las coordenadas del punto de color negro de la ventana de la derecha son:
4. Puedes visualizar ambas funciones y verificar con cuáles coincide la trayectoria del punto negro de la ventana de la derecha.
¡A ver! ¿Qué tal si probamos el funcionamiento y límites del applet?
El desafío que te planteamos en esta oportunidad
Respecto al lugar didáctico del applet. ¿En qué situación te imaginas que el applet presentado podría estar? Es decir, ¿en qué entorno problemático para tus estudiantes situarías este applet?
Con respecto al diseño del applet. Seguramente la pregunta anterior puso en evidencia algunas información que el applet no muestra (o algunas que ocultarías), al respecto te pregunto: ¿Qué modificarías del applet?
Respecto al saber vinculado al applet. Una pregunta relacionada a la manipulación del applet: Vamos a la lista de condiciones que una función acotada debe cumplir, está arriba, la que formuló Lebesgue... ¿Podrías usar el applet (sin restricción en su uso, creativamente) para verificar la validez de tres de esas afirmaciones?