Pie de la perpendicular a la tangente a una circunferencia. Lugar geométrico
Calcula el lugar geométrico del pie de la perpendicular X trazada desde un punto fijo P a las tangentes a los puntos de una circunferencia de centro O y radio R.
Solución
Si A es un punto de la circunferencia, y X el pie de la perpendicular trazada desde P a la tangente en A, en particular el vector es perpendicular al vector :
.
Además, y son paralelos pues el radio es perpendicular a la recta tangente. Así que
Pero también,
Por tanto, la ecuación del lugar geométrico resulta:
.
El dibujo se corresponde con un "Caracol de Pascal", que generaliza la curva cardioide.
Coordenadas cartesianas
Situando el centro de la circunferencia en el origen, O=(0,0), si X=(x,y), P=(p,q), resulta
elevando al cuadrado
Coordenadas polares
Denotando , , a=d(P,O), podemos expresar el lugar geométrico como:
Dividiendo entre , resulta , de donde
el lugar geométrico resulta
siendo
- "R" es el radio de la circunferencia,
- "a" es la distancia entre el centro y el punto P.
- La variable es la distancia entre P y el punto del lugar geométrico.
- La variable es el ángulo formado por los vectores con origen en P en dirección a O y el punto del lugar geométrico.