Transformações no Plano
Conversa inicial
Vamos começar a explorar o que pode acontecer em cada um dos casos a seguir.
Mova o ponto vermelho para onde for possível e veja o que acontece.
Se for necessário voltar, você pode clicar no círculo com as setas para reiniciar a construção.
Translação
O que é Translação?
O que aconteceu com o polígono anterior é chamado de translação, porque deslocamos o polígono mantendo sua direção, sentido, forma e medida de seus lados, estamos fazendo uma translação. Este é um tipo de transformação que preserva não só a forma, mas também as suas medidas. Por isso, dizemos que esta transformação é ISOMÉTRICA. Dizer que uma transformação é isométrica é o mesmo que dizer que houve uma transformação que não mudou nem a forma nem as medidas da figura, neste caso, um polígono.
Vamos ver alguns outros exemplos de uma transformação isométrica.
Rotação
No caso do polígono a seguir, movimente o ponto vermelho e observe o que acontece.
Neste caso, o polígono efetuou uma rotação em torno de um ponto. Repare que todos os outros vértices do polígono efetuaram a rotação, menos o centro de rotação. Neste caso, o centro da rotação é, também, um vértice do polígono, mas não precisa ser sempre assim. Caso o centro de rotação não seja um dos vértices do polígono, todos os vértices irão fazer um giro de uma determinada medida em graus a partir do centro de rotação. Veja a seguir ao mover o vértice vermelho:
Ainda sobre a rotação...
É possível reparar que, neste caso, o polígono faz um giro em torno de um determinado ponto, mas mesmo assim, sua forma e suas medidas permanecem as mesmas. Com isso, podemos dizer que uma rotação também é uma transformação isométrica, ou seja, é uma isometria.
A diferença entre a translação vista anteriormente e estes dois últimos exemplos de rotação está no fato de que o polígono muda de lugar, mas ele não preserva a direção em que seus lados apontavam. Na translação ele ficava na mesma direção, enquanto na rotação ele acaba mudando um pouco sua posição de modo que todos os seus vértices e lados tenham feito um giro de mesma medida.
Reflexões
Veremos que existem dois tipos de rotação:
- Em relação a uma reta (eixo);
- Em relação a um ponto.
Reflexão em relação a uma reta
Analisando o que aconteceu
Observe que o polígono simétrico, ou seja, a reflexão do polígono original, está a uma mesma distância da reta, também chamada de eixo de simetria. É como se esse eixo funcionasse como um espelho e o reflexo deste polígono será seu correspondente simétrico.
Por isso damos o nome de reflexão em relação a uma reta.
Neste caso, a distância de cada vértice do polígono novo está a uma mesma distância que o vértice correspondente está do eixo de reflexão. Isso até nos faz lembrar o conceito de "número simétrico". Será que tem alguma relação?
Vale a pena observar que a reflexão também é uma transformação isométrica uma vez que, em qualquer posição que coloquemos o eixo de reflexão ou eixo de simetria, o polígono não tem suas medidas nem forma alteradas. A única diferença é que a posição do novo polígono será refletida em relação ao original, ou seja, é como se ele estivesse invertido sua posição.
Porém, esta não é a única maneira de obter uma reflexão. possível determinar uma reflexão.
Reflexão em relação a um ponto
Explore acima.
Clique nas caixinhas para exibir o simétrico e as distâncias. Modificando o centro de reflexão do lugar, podemos encontrar um padrão: a distância entre os vértices correspondentes e o centro de reflexão são iguais.
Podemos reparar, também, que o polígono fica invertido tanto na horizontal quanto na vertical, mas de qualquer maneira, sua forma e medidas não se alteram. Com isso, podemos concluir que esta também é uma transformação isométrica.
Muito legal! Tudo isso está muito interessante, mas será que os números podem nos ajudar a compreender melhor estas transformações? Sim. Vamos ver uma forma de organizar melhor as informações:
Representação no plano: veja como podemos representar os polígonos no plano cartesiano.
Lembra do Plano Cartesiano?
Ano passado vimos uma forma de representar pontos no plano cartesiano. Vamos usar essa mesma ideia para representar os vértices de um polígono para tentar entender o que acontece.
A única diferença do que vimos ano passado para o que veremos agora é que nós já conhecemos os números inteiros negativos. Por isso, podemos expandir o plano cartesiano.
Antes, o plano cartesiano tinha apenas a parte positiva dos dois eixos. Esta parte era chamada de 1º quadrante. Agora temos outros 3, veja:
- 1º Quadrante: valores positivos para abscissa (x) valores positivos para ordenadas (y)
- 2º Quadrante: valores negativos para abscissa (x) valores positivos para ordenadas (y).
- 3º Quadrante: valores negativos para abscissa (x) valores negativos para ordenadas (y).
- 4º Quadrante: valores positivos para abscissa (x) valores negativos para ordenadas (y).
Translação no plano cartesiano
A seguir, movimente os pontos vermelhos para responder as perguntas a seguir.
Explore
Pergunta 1:
O que acontece com as coordenadas dos pontos quando fazemos uma translação horizontal?
Pergunta 2:
O que acontece com as coordenadas dos pontos quando fazemos uma translação vertical?
Concluindo...
Quando adicionamos um mesmo valor (positivo ou negativo) nas ordenadas e abscissas dos vértices do polígono estamos fazendo uma translação.
Vejamos o que acontece com uma reflexão. No applet a seguir, clique nas caixinhas para exibir as reflexões:
Reflexão
Pergunta 3
O que acontece com a coordenada x dos vértices quando fazemos uma reflexão em relação ao eixo vertical (y)?
Pergunta 4
O que acontece com a coordenada y dos vértices quando fazemos uma reflexão em relação ao eixo horizontal (x)?
Simétrico
Lembram do simétrico ou oposto de um número? Olha que interessante. Quando temos uma reflexão, em relação ao eixo vertical, consideramos os simétricos dos valores das coordenadas x dos vértices e, por outro lado, para determinar a reflexão em relação ao eixo horizontal, basta considerar os simétricos dos valores da coordenada y.
O que será que acontece, então, quando consideramos os simétricos de ambas as coordenadas, ou seja, tanto da x quanto da y ao mesmo tempo?
Clique na caixinha para exibir a reflexão.
Reflexão em relação à origem
Reflexão em relação a um ponto
Quando consideramos os simétricos de ambas as coordenadas dos vértices estamos fazendo uma reflexão em relação ao ponto de encontro dos dois eixos. Este ponto recebe o nome de origem e é por isso que dizemos que esta é uma reflexão em relação à origem.
Muito legal!
O que será que acontece quando multiplicamos as coordenadas dos vértices por um mesmo valor?
Experimente a seguir variando o número que aparece no ponto vermelho e responda as perguntas que aparecem a seguir.
Ampliação
Pergunta 5
Quando multiplicamos todas as coordenadas dos vértices por um número positivo, o que acontece com o polígono?
Pergunta 6
Quando multiplicamos todas as coordenadas dos vértices por um número negativo, o que acontece com o polígono?
Cuidado!
Quando ampliamos, o polígono, mesmo que sua forma permaneça a mesma, suas medidas são diferentes. Portanto, não podemos considerar como uma isometria. Isso acontece porque suas medidas não se mantém as mesmas.
Concluindo...
Quando representamos polígonos no plano cartesiano, podemos fazer algumas transformações neste polígono sem que ele perca sua forma.
Recapitulando:
- Translação:
- Reflexão em relação ao eixo:
- Reflexão em relação à origem:
- Ampliação:
