Polinômio de Taylor
Definição
Seja uma função de classe em , para algum , e seja . Dado ,o polinômio definido como:
é chamado de polinômio de Taylor de ordem de em .
Para o caso onde e temos o seguinte polinômio
No applet abaixo, sinta-se livre para manipular o ponto A e observar o polinômio de Taylor de ordem 2 de em . Note que é uma função explícita.
Para funções dadas implicitamente
Seja uma função
dizemos que a função está definida implicitamente na equação , se , para todo .
Teorema
Seja de classe , e . Se , então existirá os intervalos abertos , com e , tal que para cada , teremos um único , com . A função é diferenciável e
Utilize o applet abaixo para visualizar melhor o teorema apresentado. Sinta-se livre para manipular o ponto ao longo da superfície e observar o polinômio de Taylor de grau 3 para uma função .
Trabalharemos a seguir com o polinômio de Taylor de ordem 2 para uma função no ponto . Logo o polinômio é definido como:
Seja uma função de classe em . e , tal que . Se então existirá uma bola aberta de centro e um intervalo aberto , com , tais que para cada contida nessa bola aberta, existe um único , com . A função , com contido na bola aberta, é diferenciável e
e
Utilize o applet abaixo para visualizar melhor o teorema apresentado. Sinta-se livre para manipular o ponto ao longo da superfície e observar o polinômio de Taylor de grau 2 de uma função .
* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*