Der Satz von Holditch
Bei verschiedenen Schülerwettbewerben wurde die Aufgabe gestellt, die (im Applet gelb markierte) Ringfläche zwischen den konzentrischen Kreisen für gegebene Werte von s und r (bei unbekanntem R) zu berechnen. Überraschenderweise hängt das Ergebnis nicht vom Radius R des Außenkreises ab. Du wirst hier eine noch viel größere Überraschung erleben: Die Randkurve kann nicht nur ihre Größe verändern, sondern eine beliebige Gestalt annehmen, ohne dass sich der Inhalt der Fläche zwischen ihr und der Bahnkruve von X ändert!
Anleitung
- Verändere die Länge l der Sehne PQ und den Parameter s bzw. r = l-s (also die Position von X auf der Sehne PQ) und beobachte die Auswirkungen auf die Ringfläche.
- Überzeuge dich durch Ziehen am Schieberegler, dass eine Veränderung von R keine Auswirkung auf die gelbe Fläche hat.
- Verändere nun die Gestalt der Randkurve mit den Schiebereglern , i, j, k und R und beobachte jeweils die Auswirkungen auf die Ringfläche.
- Untersuche auch die Spezialfälle Quadrat und Dreieck. Welche einfache Erklärung für die Formel für die "Ringfläche" gibt es im Falle des Quadrats?
- Modifiziere die Randkurve so, dass sie nicht mehr konvex ist. Verändere l und s so, dass der Punkt X bei seinem Umlauf manchmal außerhalb der Randkurve liegt. Nach wie vor hängt die "Ringfläche" nicht von der Gestalt der Randkurve ab. Wie ist der außen liegende Teil der Ringfläche zu interpretieren?
- Blende die "verlängernde Gerade" ein, wähle s < 0 oder s > l und beobachte die Auswirkungen. Wie sind die auftretenden Vorzeichen zu interpretieren?
Diese GeoGebra-App wurde nach der Vorlage von Thijs, https://www.geogebra.org/m/HUprjjw7, erstellt.
Mathematischer Hintergrund
Der Satz von Holditch
(Rev. Hamnet Holditch, The Quarterly Journal Of Pure And Applied Mathematics (1858) Vol.II, 38)
Bewegt sich ein starrer Stab PQ der Länge l entlang einer vorgegebenen geschlossenen ebenen Randkurve, wobei seine Endpunkte stets auf der Kurve liegen, und führt er dabei einen vollständigen Umlauf aus, bis er wieder seine Ausgangslage eingenommen hat, ist ferner X ein Punkt auf dem Stab, der diesen in zwei feste Teillängen s (hier rot) und r (hier blau) unterteilt, dann ist der Inhalt der Ringfläche (hier gelb) zwischen der gegebenen Randkurve und der Bahnkurve (dem "Orbit") von X ist stets gleich , unabhängig von der Gestalt der gegebenen Kurve.
Zusatz: Die Aussage gilt auch dann noch, wenn der Punkt X auf der Geraden durch P und Q außerhalb der Strecke PQ liegt. In diesem Fall ist s<0 bzw. r<0 als "orientierter Abstand" und die Ringfläche als "orientierte Fläche" zu vertsehen.
Die wesentliche Idee zum Beweis ergibt sich aus den Untersuchungen im nächsten Kapitel. Eine exakte Ausführung erfolgt im Anhang.