Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung kann eine oder mehrere Variablen haben. Die folgenden Gleichungen sind Beispiele für lineare Gleichungen:
Lineare Gleichungssysteme
Wenn es mehrere lineare Gleichungen gibt, die alle die gleiche Lösung haben, dann spricht man von einem linearen Gleichungssystem:
Jede der drei Gleichungen oben ergibt eine wahre Aussage, wenn , und . Überprüfen Sie das.
Daher ist
eine Lösung des oben stehenden Gleichungssystems. Sie können es ausprobieren: Alle anderen Zahlenkombinationen sind keine Lösungen.
Ein Beispiel aus dem Leben:
Eine Jugendherberge kauft Betten, Stühle und Schränke bei einer Möbelfirma. Das Angebot liegt auf dem Tisch: Die Möbel für ein Einzelzimmer kosten insgesamt 170€, für ein Doppelzimmer müssen 270 € gezahlt werden und die Möblierung eines Gruppenzimmers kostet 810€.
- In einem Einzelzimmer ist ein Bett, ein Stuhl und ein Schrank
- In einem Doppelzimmer sind zwei Betten, zwei Stühle und ein Schrank
- In einem Gruppenzimmer sind sechs Betten, sechs Stühle und drei Schränke
Fachvokabular
Die Buchstaben in einem Gleichungssystem sind unsere Variablen. Die Faktoren, die vor den Variablen stehen, heißen Koeffizienten. Die Zahlen rechts vom Gleichheitszeichen werden als Absolutglieder bezeichnet.
Ein quadratisches Gleichungssystem ist eines, das genau so viel Gleichungen besitzt, wie Variablen.
Es ist nur dann möglich, eine eindeutige Lösung für ein Gleichungssystem zu berechnen, wenn es mindestens genau so viel Gleichungen gibt, wie es Varaiablen gibt. Wenn es mehr Gleichungen als Variablen gibt, dann ist ein Gleichungssystem überbestimmt. In einem solchen Fall gibt es oft gar keine Lösung. Wenn es weniger Gleichungen als Variablen gibt, dann ist ein Gleichungssystem unterbestimmt. In einem solchen Fall gibt es oft unendlich viele Lösungen.
Wenn alle Absolutglieder gleich Null sind, dann spricht man von einem homogenen Gleichungssystem.
Matrix-Schreibweise
Man kann ein Gleichungssystem auch mit Hilfe von Matrizen schreiben. Das erspart viel Schreibarbeit und ist beim Rechnen oft auch übersichtlicher:
Das Gleichungssystem
lässt sich auch schreiben, als:
mit der sogenannten Koeffizientenmatrix und den Vektoren und
Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen verwendet man oft den Gauß-Algorithmus. Dafür verwendet man in der Regel die erweiterte Koeffizientenmatrix:
Schreibe das Gleichungssystem mit Hilfe von Matrizen. Einmal mit der Koeffizientenmatrix und auch als erweiterte Koeffizientenmatrix
Matrix-Schreibweise
Man kann ein Gleichungssystem auch mit Hilfe von Matrizen schreiben. Das erspart viel Schreibarbeit und ist beim Rechnen oft auch übersichtlicher:
Das Gleichungssystem
lässt sich auch schreiben, als:
mit der sogenannten Koeffizientenmatrix und den Vektoren und
Eine Übung zum Erstellen einer Matrix-Gleichung aus Gleichungssystemen ist hier zu finden: Lösen mit inversen Matrizen
Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen verwendet man oft den Gauß-Algorithmus. Dafür verwendet man in der Regel die erweiterte Koeffizientenmatrix:
Eine Übung zum Erstellen von erweiterten Koeffizientenmatrizen aus Gleichungssystemen ist hier zu finden: Gleichungssysteme und Matrizen