１０．２次方程式の解の配置
１.全実数で成り立つ２次不等式
このページは電子ブック「探求 数学Ⅰ」の一部です。
＜判別式と二次関数の正負＞
下に凸なとき、判別式Dが負であることと、２次関数が正（ｘ軸の上にある）は同値
下に凸なとき、判別式Dが０以下であることと、２次関数が０以上（ｘ軸以上）は同値
上に凸なとき、判別式Dが負であることと、２次関数が負（ｘ軸の下にある）は同値
上に凸なとき、判別式Dが０以下であることと、２次関数が０以下（ｘ軸以下）は同値
すべての実数に対してつねに正または負などとなる不等式を絶対不等式と呼ぶことがあります。
（例）
「すべての実数ｘについて、f(x)=mx2+6x+2m-3>0が成り立つときのｍの範囲」は？
m>0とD=36-8m2+12m=-4(2m2-3m-9)=-4(2m+3)(m-3)<0が両方成り立つから、m>3
（例）
「すべての実数ｘについて、f(x)=x2+2kx-3k+4>0が成り立つときのkの範囲」は？
D/4=k2-1・(-3k+4)=k2+3k-4=(K+4)(k-1)<0。kの範囲は-4と１の間。
（例）
「すべての実数ｘについて、f(x)=(k-2)x2+2(k-1)x+3k-5>0が成り立つときのkの範囲」は？
D/4=(k-1)2-(k-2)(3k-5)=k2-2k+1-3k2+11k-10=-2k2+9k-9<0 2k2-9k+9=(2k-3)(k-3)>0から,
kは3/2より小か3より大で、ｘ軸から離れる。つねに正であるためには、さらに２次の係数が正。
k-2が正だから、kは２より大という条件が追加されるので、まとめるとkの範囲は３より大。
★判別式の値に目をつけよう
2.解の正負
＜異なる２解＞
y=f(x)=0の２解の配置
・ともに正 判別式Dが正、ｙ切片f(0)が正、 軸ｘ=aが正。
・ともにpより大 判別式Dが正、x=p切片f(p)が正、 軸ｘ=aがpより大。
・ともに負 判別式Dが正、ｙ切片f(0)が正、 軸のｘが負。
・ともにpより小 判別式Dが正、x=p切片f(p)が正、 軸ｘ=aがDより小。
・１つ正１つ負 ｙ切片f(0)が負だけでよい。
(理由) ｙ切片f(0)=c<0 でa>0ならD=b2-4ac＞０だから
・２解の間にｘ=ｐ x=p切片f(p)が負だけでよい。
(理由) ｙ切片f(0)=c<0 でa>0ならD=b2-4ac＞０だから
・２解ｐ,ｑと0,1,2が0,ｐ,1,ｑ,2の順に並ぶ f(0),f(1),f(2)の順に正、負、正となる。
（理由）中間値の定理からfの正負の変化の途中で１回は交わるから。
（例）
「f(x)=x2-ax-a+8=0が異なる２つの正の解をもつaの範囲」は？
D=a2+4a-32>0とf(0)=-a+8>0と軸のx=a/2>0がすべて成り立つから、aは４と８の間。
（例）
「f(x)=x2-2ax-a+2=0が正負の解を１つずつもつaの範囲」は？
ｙ切片f(0)=-a+2<0だから、a>2。
★３条件の成立を確認しよう
３．解の範囲指定
解の範囲指定する問題では、関数値の正負、関数値の積の正負が重要になる。
２次方程式y=f(x)=0
・解の１つだけがaとbの間にあるとしたら、f(a)とf(b)は異符号だから、積が負になる。
・解の２つがaとbの間にあるとしたら、f(a)とf(b)は同符号だから、積で正になる。
さらに、判別式D>0で軸が範囲内にある。
・解が１つもaとbの間にないのは、解が０個か、解があり軸が範囲外でf(a)f(b)が正または０。
（解がx=aはちょうどaなので、aとbの間ではないので、注意！）
（例）
「２次方程式ｆ(x)=x2+(a-1)x-a2+2=0解が-2と0の間と0と1の間に1つずつ入るaの範囲」は？
下に凸の関数なのでf(-2),f(0),f(1)の順に＋ー＋。
f(-2)=4+(a-1)(-2) - a2+2=-a2 -2a+8=-(a2 +2a-8)=-(a+4)(a-2)>0 (a+4)(a-2)<0 aは-4と2の間。範囲A
f(0)= - a2+2=-(a2 -2)=-(a+√2)(a-√2)<0 (a+√2)(a-√2)>0 aは-√2より小か、√2より大。範囲B
f(1)=1+(a-1) - a2+2=-a2 +a+2=-(a2 -a-2)=-(a+1)(a-2)>0 (a+1)(a-2)<0 aは-1と２の間。範囲C
範囲A,B,Cの共通範囲はaは√2と２の間。
（例）
「２次方程式ｆ(x)=x2+2ax-2a+3=0解がすべて-2と1の間入るaの範囲」は？
f(1)=1+2a-2a+3=4>0だから、f(-2)=4-4a-2a+3=-6a+7>0で a<7/6。範囲A
解が重複する場合も含めてD/4=a2+2a-3=(a+3)(a-1)>=0で、aは-3以下か１以上。範囲B
念のために、軸x=-aが-2と1の範囲にあるか、aは２と−１の間。範囲C
範囲A,B,Cの共通範囲はaは1以上7/6より小。
（例）
「２次方程式ｆ(x)=x2-2ax+a+2=0解が少なくとも１つ1と3の間入るaの範囲」は？
余事象は１つも１と３の間に解がないとき。
・解なしはD/4=a2-a-2=(a-2)(a-1)<0から、aは１と２の間。範囲A
・解あり（aが１と２の間でない）のときは、軸x=aが1と３の間になく、際の関数値の積は正。
f(1)f(3)=(-a+3)(-5a+11)=(a-3)(5a-11)>0で、aは11/5以下か3以上が追加される。
まとめると、aは１より小さいか３以上。範囲B
範囲Aまたは範囲Bは、aの範囲が２より小さいか３以上。範囲C
範囲Cの補集合は、aの範囲は2以上３より小。