M1 AB II.5 Steigung einer Funktion an einer Stelle
Wie hängt die lokale Steigung eines Funktionsgraphen mit Differentialquotienten zusammen?
Anhand des Funktionsgraphs des Weg-Zeit-Zusammenhangs beim Gepard habt ihr euch erarbeitet, wie man die Steigung eines Graphen einer Funktion f an einer interessierenden Stelle x0 bestimmen kann.
Vertieft eure dort gewonnenen Erkenntnisse mit diesem Arbeitsblatt noch einmal anhand der Funktion , indem ihr die Vorgehensweise für die Bestimmung der (Tangenten-)Steigung an der Stelle x0 = 3 noch einmal nachvollzieht.
Anschließend halten wir die Vorgehensweise in einer analytischen Schreibweise fest, mit der wir die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x0 definieren können.
Mit Hilfe dieser analytischen Schreibweise lässt sich in bestimmten Fällen auch ein Term für die
Ableitung bestimmen. Das werden wir am Beispiel der Funktion auch tun.
||
|| Hinweise zum obigen Applet
|| Wenn man oben in der Mitte des Applets auf 
klickt, wird
|| das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt.
|| Die drei mit 1, 2 und 3 beschrifteten Schaltknöpfe im Applet erlauben es,
|| die bisherigen Überlegungen noch einmal nachzuvollziehen:
|| (1) Klickt man im Applet auf 
, dann wird der Funktionsterm und der
|| Graph der Funktion dargestellt, an dem die Bestimmung der
|| Steigung des Graphs einer linearen Funktion untersucht wurde.
|| (2) Klickt man im Applet auf 
, dann wird der Funktionsterm und der
|| Graph der Weg-Zeit-Funktion des Gepards dargestellt,
|| mit dem die Steigung an einer Stelle bestimmt wurde.
|| (3) Klickt man im Applet auf 
, dann wird der Funktionsterm und der
|| Graph der Funktion dargestellt, an dem in diesem Arbeitsblatt
|| gearbeitet werden soll.
||
klickt, wird
|| das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt.
|| Die drei mit 1, 2 und 3 beschrifteten Schaltknöpfe im Applet erlauben es,
|| die bisherigen Überlegungen noch einmal nachzuvollziehen:
|| (1) Klickt man im Applet auf , dann wird der Funktionsterm und der
|| Graph der Funktion dargestellt, an dem die Bestimmung der
|| Steigung des Graphs einer linearen Funktion untersucht wurde.
|| (2) Klickt man im Applet auf , dann wird der Funktionsterm und der
|| Graph der Weg-Zeit-Funktion des Gepards dargestellt,
|| mit dem die Steigung an einer Stelle bestimmt wurde.
|| (3) Klickt man im Applet auf , dann wird der Funktionsterm und der
|| Graph der Funktion dargestellt, an dem in diesem Arbeitsblatt
|| gearbeitet werden soll.
|| Aufgaben
Klickt oben in der Mitte des Applets auf . Im Applet ist nun der Funktionsgraph der Funktion dargestellt.
Ihr sollt hier analog zur Vorgehensweise bei der Bestimmung der Steigung des Weg-Zeit-Graphs beim Gepard die Steigung des Funktionsgraphs der Funktion an der Stelle x0 = 3 bestimmen.
Notiert ausführlich eure Überlegungen, Vorgehensweisen und das Ergebnis. Notiert immer zunächst einen Term mit Variablen, bevor ihr Zahlenwerte für die Variablen einsetzt.
_____________________________________________________________________________________________________
Hilfe
Zur Erinnerung sind hier noch einmal die Arbeitsaufträge notiert, die ihr bei der Bestimmung der Steigung an einer Stelle des Graphen des Gepards abgearbeitet habt. Sie können euch als Orientierung dienen.
(1) Klickt den Auswahlknopf "Zuordnung" an. Dadurch werden gestrichelte grüne Linien sichtbar, die zeigen, dass dem Wert x0 der Funktionswert f(x0) und dem Wert x der Funktionswert f(x) zugeordnet ist.
(2)
Klickt auf den Auswahlknopf "Absolute Änderung" sowie auf den Auswahlknopf "Änderungsrate (relative Änderung)", verändere anschließend die Lage von x2 und beobachte dabei den Wert der Änderungsrate.
Notiert was euch im Vergleich zur linearen Funktion aus dem Arbeitsblatt M1 II.2 auffällt und begründet schriftlich, warum das so ist.
(3)
Beim angezeigten Funktionsgraph handelt es sich um keine Gerade, sondern um eine gekrümmte Kurve.
Überlegt, wie man bei einem gekrümmten Funktionsgraph die Steigung an einer Stelle x0 ablesen könnte. Haltet eure Überlegungen schriftlich fest.
(4)
Klickt den Auswahlknopf "Tangente" an. Dadurch wird die Tangente (also eine Gerade, die den Graph an der interessierenden Stelle berührt) an den Graphen der Funktion f an der Stelle x1 eingezeichnet.
Betrachtet die Tangente und überlegt ob und wenn ja was diese mit der Steigung des Graphen von f an der Stelle x0 zu tun hat.
Notiert eure Überlegungen.
(5)
Um eine Gerade eindeutig festzulegen, benötigt man zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. Bei der Tangente an den Graph der Funktion f an der Stelle x0 kennen wir aber nur den Berührpunkt, der die Koordinaten (x0, f(x0)) hat.
Mit den beiden Punkten (x0, f(x0)) und (x, f(x)) auf dem Funktionsgraph, können wir dagegen eine Gerade eindeutig bestimmen, die eine Sekante (also eine Gerade, die den Graph in zwei Punkten schneidet) des Funktionsgraphs ist und durch den Punkt (x0, f(x0)) verläuft.
Lasst die Sekante durch Klicken auf den Auswahlknopf "Sekante" anzeigen.
(6)
Zieht am Punkt x auf der x-Achse und beobachtet, was dabei mit der Sekante im Vergleich zur Tangente durch den Punkt (x0, f(x0)) passiert.
Notiert eure Beobachtungen.
(7)
Schaltet die Tangente durch Klicken auf den Auswahlknopf "Tangente" aus.
Zieht den Punkt x genau auf den Punkt x0. Beobachtet genau was dabei passiert.
Notiert eure Beobachtungen und gebt eine Erklärung dafür an.
(8)
Überlegt auf der Grundlage eurer Beobachtungen aus Aufgabe (6) wie man mit Hilfe der Steigung der Sekante die Steigung der Tangente durch den Punkt (x0, f(x0)) annähern kann.
Notiert eure Überlegungen.
(9)
Bewegt den Punkt x auf der x-Achse langsam in Richtung x0 und beobachtet dabei den Wert der Änderungsrate, also der Sekantensteigung.
Führt die Annäherung von x an x0 sowohl von rechts als auch von links durch.
Notiert eure Beobachtungen.
(10)
Notiert eine Vermutung für den Zahlenwert der Steigung der Tangente durch den Punkt (x0, f(x0)).
. Im Applet ist nun der Funktionsgraph der Funktion dargestellt.
Ihr sollt hier analog zur Vorgehensweise bei der Bestimmung der Steigung des Weg-Zeit-Graphs beim Gepard die Steigung des Funktionsgraphs der Funktion an der Stelle x0 = 3 bestimmen.
Notiert ausführlich eure Überlegungen, Vorgehensweisen und das Ergebnis. Notiert immer zunächst einen Term mit Variablen, bevor ihr Zahlenwerte für die Variablen einsetzt.
_____________________________________________________________________________________________________
Hilfe
Zur Erinnerung sind hier noch einmal die Arbeitsaufträge notiert, die ihr bei der Bestimmung der Steigung an einer Stelle des Graphen des Gepards abgearbeitet habt. Sie können euch als Orientierung dienen.
(1) Klickt den Auswahlknopf "Zuordnung" an. Dadurch werden gestrichelte grüne Linien sichtbar, die zeigen, dass dem Wert x0 der Funktionswert f(x0) und dem Wert x der Funktionswert f(x) zugeordnet ist.
(2)
Klickt auf den Auswahlknopf "Absolute Änderung" sowie auf den Auswahlknopf "Änderungsrate (relative Änderung)", verändere anschließend die Lage von x2 und beobachte dabei den Wert der Änderungsrate.
Notiert was euch im Vergleich zur linearen Funktion aus dem Arbeitsblatt M1 II.2 auffällt und begründet schriftlich, warum das so ist.
(3)
Beim angezeigten Funktionsgraph handelt es sich um keine Gerade, sondern um eine gekrümmte Kurve.
Überlegt, wie man bei einem gekrümmten Funktionsgraph die Steigung an einer Stelle x0 ablesen könnte. Haltet eure Überlegungen schriftlich fest.
(4)
Klickt den Auswahlknopf "Tangente" an. Dadurch wird die Tangente (also eine Gerade, die den Graph an der interessierenden Stelle berührt) an den Graphen der Funktion f an der Stelle x1 eingezeichnet.
Betrachtet die Tangente und überlegt ob und wenn ja was diese mit der Steigung des Graphen von f an der Stelle x0 zu tun hat.
Notiert eure Überlegungen.
(5)
Um eine Gerade eindeutig festzulegen, benötigt man zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. Bei der Tangente an den Graph der Funktion f an der Stelle x0 kennen wir aber nur den Berührpunkt, der die Koordinaten (x0, f(x0)) hat.
Mit den beiden Punkten (x0, f(x0)) und (x, f(x)) auf dem Funktionsgraph, können wir dagegen eine Gerade eindeutig bestimmen, die eine Sekante (also eine Gerade, die den Graph in zwei Punkten schneidet) des Funktionsgraphs ist und durch den Punkt (x0, f(x0)) verläuft.
Lasst die Sekante durch Klicken auf den Auswahlknopf "Sekante" anzeigen.
(6)
Zieht am Punkt x auf der x-Achse und beobachtet, was dabei mit der Sekante im Vergleich zur Tangente durch den Punkt (x0, f(x0)) passiert.
Notiert eure Beobachtungen.
(7)
Schaltet die Tangente durch Klicken auf den Auswahlknopf "Tangente" aus.
Zieht den Punkt x genau auf den Punkt x0. Beobachtet genau was dabei passiert.
Notiert eure Beobachtungen und gebt eine Erklärung dafür an.
(8)
Überlegt auf der Grundlage eurer Beobachtungen aus Aufgabe (6) wie man mit Hilfe der Steigung der Sekante die Steigung der Tangente durch den Punkt (x0, f(x0)) annähern kann.
Notiert eure Überlegungen.
(9)
Bewegt den Punkt x auf der x-Achse langsam in Richtung x0 und beobachtet dabei den Wert der Änderungsrate, also der Sekantensteigung.
Führt die Annäherung von x an x0 sowohl von rechts als auch von links durch.
Notiert eure Beobachtungen.
(10)
Notiert eine Vermutung für den Zahlenwert der Steigung der Tangente durch den Punkt (x0, f(x0)).