0510 Egyenes menti eltolás adott szakasszal
Feladat:.
Általánosítsuk még tovább az előző feladatot!
Legyen egy adott e egyenesen mozgó O , E és T0 pont! Legyen T1 az e egyenesnek az a pontja, amelyre OE=T0T1=1 egységnyi. Az irányításuk is legyen azonos! Végezzük el az iménti kettős tükrözést a H sík egy tetszőleges P pontjára!
Miként függ a kapott P'' pont az O, E és T0 pontok megválasztásától?
A gyakorlati kivitelezés nehézségei
Ebben a feladatban az O, E és T0 pontoknak az e H-Egyenesre - vagyis a rajzlapon körívre - kellene illesztenünk.
A GeoGebra a körívre illesztett pontokat a körív végpontjaihoz viszonyított helyzetében tartja számon. Ezért, egy H-egyenesre illesztett pont esetleg "ugrik" ha mozgatjuk a bázispontjait. Például az alábbi GeoGebra fájlban próbáljuk fel-le mozgatni az A és B pontok egyikét. (A P pontot a P=Pont(c) paranccsal adtuk meg, ahol v=HEgyenes(A,B). )
Megoldás:
A fenti nem kívánatos jelenséget azzal tudjuk kiküszöbölni, hogy felvesszük a P-modell alapkörének egyik félkörét az s=Félkör[(10,0), (-10,0)] paranccsal, majd ezen vesszük fel a feladatunk e egyeneséhez szükséges végtelen távoli - bázispontokat. Pl. az A=Pont(s) paranccsal. Ezzel lényegében semennyit nem sérül a feladatunk dinamikus jellege, sem az általánossága.
A szerkesztés többi részét feltehetően nem szükséges elemeznünk.
Amint az várható volt, a P'' pont helye nem függ a - mozgatható - T0 pont megválasztásától. Viszont az OE H-Szakasztól igen. A P" pont által leírt vonalat pl. a p=Mértanihely[P'',E] paranccsal tudjuk előállítani.
Szerkesszük meg a P pontnak az e -re eső merőleges vetületét T-t. majd ebből ugyanazokkal a tükrözésekkel T'-t és T''-t. Mivel Az e egyenesnek bármely e-re merőleges egyenesre vonatkozó tükörképe önmaga, igy a PT , P'T' és P''T'' szakaszok egybevágók. Ebből adódóan a P" mértani helyeként kapott p alakzatnak minden pontja PT-vel egyenlő távolságra van az e H-egyenestől. Ezt a p alakzatot az e egyeneshez és a P ponthoz tartozó távolságvonalnak -hiperciklusnak nevezzük.
Magát a P → P'' hozzárendelést az e egyenes menti eltolásnak nevezzük, amelynek az iránya OE mértéke 2OE. Ha a P pont illeszkedik az e egyenesre, akkor valóban PP'' =2OE =2T0T1 de ha P nem illeszkedik e-re, akkor ez nincs így, ellentétben az euklideszi geometriából megszokott tulajdonsággal.