Winkel zwischen zwei Vektoren
Winkel zwischen zwei normierten Vektoren
Ein Vektor wird als normiert bezeichnet, wenn seine Länge ist.
Im folgenden Applet sind zwei normierte Vektoren, sowie der von ihnen eingeschlossenen Winkel dargestellt. Das bedeutet und .
Der Vektor lässt sich zerlegen in einen zu parallelen Teil (blau eingezeichnet) und einen zu senkrechten Teil (gestrichelt eingezeichnet).
Überprüfen Sie exemplarisch, dass die Länge des zu parallelen Vektors dem Wert des Skalarprodukts der Vektoren und entspricht, indem sie den Vektor mithilfe des pinken Punkts verschieben.
Begründen Sie diesen Zusammenhang, indem sie die Koordinaten von und in der dargestellten Berechnung des Skalarprodukts betrachten.
Die rote, gestrichelte und blaue Strecke ergeben zusammen ein rechtwinkeliges Dreieck.
Stellen sie einen Term zur Berechnung des markierten Winkels in diesem Dreieck auf.
Verwenden Sie dafür zwei der drei genannten Strecken.
Tipps:
Überlegen sie, welche Streckenlängen bekannt sind bzw. wie sie mit den vorherigen Überlegungen berechnet werden können.
Auch kann es helfen sich den Graphen anzeigen zu lassen, der die Länge der blauen Strecke mit dem eingeschlossenen Winkel in Verbindung bringt.
Winkel zwischen beliebigen Vektoren
Im folgenden Applet können zusätzlich die Längen und der beiden Vektoren verändert werden.
Beschreiben Sie, wie sich das Skalarprodukt sowie der Graph verändert, wenn Sie die Länge eines der beiden Vektoren verändern.
Ergänzen Sie ihren aufgestellten Term zur Berechnung des Winkels so, dass er auch für Vektoren gilt, die nicht normiert sind.