Empaquetamiento de círculos.
En principio, la abeja intenta construir con cera una celdilla con forma de cilindro para que quepa la mayor cantidad posible de miel utilizando la menor cantidad posible de cera para la pared. Para que le resulte más económico une su cilindro al de sus vecinas por compresión, con ello consigue una ventaja adicional, aprovecha las paredes que comparte con sus vecinas lo que supone un ahorro de cera. La compresión es la misma que se produce en el magma caliente de una erupción y el posterior enfriamiento en el que se ensancha y los cilindros se unen a los vecinos dando lugar a columnas prismáticas de base hexagonal.
Habría tres posibilidades para conectar esas circunferencias, son las disposiciones de los polígonos regulares que forman mosaico: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular, las que rellenan el plano sin dejar huecos ni solaparse.
En el applet puedes desplazar horizontalmente los puntos A, B y C para comprobar que las circunferencias en los tres casos son iguales.
Si una abeja quiere estar muy junta a las de alrededor, elegirá la solución de los hexágonos
La conjetura del panal.
La conjetura del panal de abeja se ha mantenido durante más de 2000 años, Marco Terencio Varron (año 36 a.c.) conjeturó que la rejilla hexagonal es la que divide al plano en regiones de igual área con un menor perímetro. Esta es una idea que se ha mantenido a lo largo de los siglos, Pappus (290-350 d.c.) la expone en el quinto libro de su obra Synqagoge o Colección. Se convirtió en teorema gracias a la demostración de Thomas C. Hales. en 1999.
El cuadrado.
Si el radio de la circunferencia es igual a la unidad, no te será difícil dar el lado del cuadrado y su área.
El triángulo.
Realiza los cálculos para obtener el lado del triángulo equilátero y su área.
El hexágono
Ahora el lado del hexágono regular y su área.
Solo se han utilizado tres polígonos regulares para rellenar el plano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. Demuestra que solo hay tres mosaicos regulares, es decir, que son los únicos polígonos regulares que rellenan el plano.
Una ampliación de la pregunta anterior, ¿Y si pensamos en mosaicos con combinaciones de dos o más polígonos regulares?. Vamos a añadir una condición: que los polígonos que se juntan en cada vértice siempre sean los mismos y en el mismo orden.
![Observa que en el mosaico de la izquierda todos los vértices son como el marcado en color morado: hexágono, triángulo, hexágono, triángulo (6,3,6,3). En cambio el de la derecha tiene dos tipos de vértices: el rojo (6,3,6,3) y el azul (6,6,3,3) que también se puede escribir utilizando el símbolo de potencia para representar la repetición de un polígono (6[sup]2[/sup],3[sup]2[/sup])](https://www.geogebra.org/resource/fcdcvwbe/dlgglgLRc4rsHeOR/material-fcdcvwbe.png)
Utiliza GeoGebra para construir todos los mosaicos semirregulares.
Utiliza la ventana inferior para hacer tus construcciones y escribe aquí el código del vértice de cada uno de los mosaicos.
Esta actividad pertenece al libro La geometría del panal de José Antonio Mora.