Piramidă din triunghi
Dacă îndoim triunghiul după liniile mijlocii, obţinem o piramidă (tetraedru) ... doar atunci când triunghiul este ascuţit unghic. Altfel, nici-o şansă. De ce? Intriga acestei poveşti este ... de aflat cu ajutorul reprezentării de mai jos.
Fiecare vârf al triunghuiului ABC, se roteşte în jurul liniei mijlocii corespunzătoare lui (determinată de mijloacele laturilor ce se întâlnesc în acel vârf), pe un cerc, situat în planul perpendicular pe aceasta, altfel spus, conform meniului, pe cercul ce trece prin vârf şi are axa de rotaţie, linia mijlocie corespunzătoare. Diametrul unui astfel de cerc, este chiar înălţimea acestui vârf, în triunghiul ABC (după cum se poate vedea privind figura precedentă, de deasupra). Înălţimile triunghiului ABC, se întâlnesc, în "ortocentru"; drept urmare planele celor trei cercuri, de rotaţie au o dreaptă comună, perpendiculară pe planul (ABC), în ortocentru. De ce se întâleasc aceste cercuri, (atunci când e posibil) exact în două puncte situate pe această perpendiculară, simetric, faţă de (ABC), ar fi încă un mister de elucidat. "Atunci când e posibil", pentru că ortocentrul este intersecţia înălţimilor, doar într-un triunghi ascuţitunghic, când obţinem un tetraedru, dacă "îndoim" triunghiul ABC după liniile sale mijlocii, sau într-un triunghi dreptunghic, când înălţimile se întâlnesc în vârful unghiului drept, iar "tetraedrul" obţinut, e unul călcat de trolebuz, doar coaja a mai rămas din el. Dacă triunghiul ABC este obtuzunghic, ortocentrul se găseşte la intersecţia prelungirilor înălţimilor, dincolo de zona de cuprindere a cercurilor de rotaţie şi, prin urmare, acestea nu se mai întâlnesc, altfel spus, deşi
triunghiul ABC seamănă cu desfăşurarea plană a unui tetraedru, în realitate, în acest caz este o haină ce nu se potriveşte pe nici-un tetraedru (sîc)!
În figura din dreapta, M este unul dintre punctele (două la număr, după obiceiul secantelor la cerc) în care cercul cu diametrul, înălţimea AA', întâlneşte perpendiculara în ortocentrul O, pe planul (ABC). Triunghiul AA'M este înscris în semicerc, deci, este dreptunghic în M, iar MO este înălţimea corespunzătoare ipotenuzei, lungimea ei fiind legată prin teorema înălţimii, de produsul proiecţiilor catetelor pe ipotenuză (produsul segmentelor determinate de ortocentru pe înălţimea AA'). Dacă cele trei cercuri de rotaţie trec prin M, se cheamă că produsele lungimilor segmentelor determinate de ortocentru pe fiecare înălţime trebe să fie acelaşi, ceea ce se petrece, în tot cazul, într-un triunghi ascuţitunghic (triunghiurile OA'B şi OB'A sunt asemenea, cazul U.U. fiind dreptunghice, cu o pereche de unghiuri opuse la vârf) şi cu puţină bunăvoinţă, în orice triunghi, fiindcă, la urma urmei e vorba despre prestigiul ortocentrului.
Oare avem ceva asemănător în cazul desfăşurării plane a unui tetraedru, în general, adecă, fără a mai constrânge desfăşurarea să fie triunghi?
Răspunsul este, pozitiv, din nou. De astă dată, cum era de aşteptat, povestea e "mai sofisticată". Controlul este deţinut de cele trei cercuri ce leagă feţele laterale, mai exact secantele lor comune, care sunt şi "axe radicale" (acest motiv poate justifica intersecţia comună, "centrul radical", care va prelua rolul ortocentrului, din episodul trecut), sau dacă trebuie să spunem tot (ce am aflat!), rolul înălţimilor va reveni coardelor comune perechilor de cercuri, coarde ce vor fi diametrele cercurilor pe care se vor roti vârfurile feţelor laterale, ce corespund "vârfului" tetraedrului. La fel ca în cazul precedent, centrul radical, poate fi în interiorul coardelor, ceea ce ne asigură că desfăşurarea are un client, 3D, în acest caz, sau poate fi în capătul unei coarde comune, situaţie în care regăsim tetraedrul turtit de cine doriţi şi în sfârşit, cazul în care centrul este în afara coardelor comune, când, haina seamănă cu desfăşurarea unui tetraedru, dar nu are nici-un client capabil să o îmbrace.
Exerciţiu: de arătat că produsele segmentelor determinate de centrul radical pe fiecare coardă au aceeaşi valoare, pentru a asigura întâlnirea cercurilor de rotaţie.
Observaţie
Discuţia de mai sus, oferă o soluţie problemei "1958-2. Dacă toate cele patru fețe ale unui tetraedru au ariile egale, arată că lungimile muchiilor opuse sunt egale (şi toate feţele sunt congruente!). Ideea este foarte simplă: tăiați de-a lungul a trei muchii dintr-un vârf și dezvoltați." din cartea
Arnold's Problems - Vladimir I. Arnold.