Función inversa
Función inversa
Sea una función uno a uno. Se define la función inversa de f(x) a la función tal que el dominio de es el rango de f(x) y el rango de es el dominio de f(x).
Así por ejemplo, si f(x) = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)} se tiene que:
Dominio de , rango de .
Entonces, dominio de y rango de
Propiedad de la función inversa
Si es la función inversa de , se cumple que la composición de las dos funciones es la función identidad f(x) = x:
y
Ejemplo:
Comprobar si la función es la función inversa de :
Sí son funciones inversas.
La recta y = x es bisectriz del primer y tercer cuadrante del plano y es el eje de simetría de f(x) y su inversa. Esto significa que todo punto de f(x) tiene su correspondiente punto opuesto a la recta y = x. Esta propiedad se puede utilizar para graficar la función inversa de una función dada.
A continuación se presentan varios applets en los que se muestran algunos ejemplos de funciones con su respectiva función inversa. Nótese que el dominio y el rango se intercambian.
En todos los applets se muestra la función identidad para verificar la propiedad de la función inversa: Active el punto en f(x) y su correspondiente en la función inversa. Verifique las coordenadas de los dos puntos. La ubicación del punto A se puede modificar digitando la abcisa en la casilla de entrada o arrastrando el punto sobre la gráfica de f(x).
Applet 1): Funciones de gráfica lineal, f(x) = m x + b
Se puede obtener función constante (m = 0), función lineal (b = 0 y m 0) o función afín (m 0, b 0).
Las función lineal y la función afín por ser uno a uno tienen función inversa: la función inversa de una lineal es otra función lineal y la inversa de una afín es otra afín. En cambio, la función constante no tiene inversa porque no es uno a uno y no se puede restringir su dominio.
Ejercicio:
Calcule la función inversa de f(x) = 3x + 2
Normalmente se utilizan 3 pasos:
1. Se escribe la ecuación como y = 3x + 2
2. Se despeja x en términos de y:
3. Se intercambian las variables x y y:
Verifique en el applet la ecuación de la función inversa.
Applet 2): Función cuadrática, f(x) = a x2 + b x + c
Dado que la función cuadrática no es una función uno a uno, es necesario restringir su dominio tomando por separado las dos ramas de la parábola: rama derecha (los valores de x mayores o iguales a la abcisa del vértice de la parábola) y la rama izquierda (los valores de x menores o iguales a la abcisa del vértice de la parábola).
Solamente con fines ilustrativos se muestra la gráfica completa de la parábola.
Ejercicio:
Calcule la función inversa de:
se resuelve la ecuación cuadrática utilizando la fórmula general, donde a = 3, b = -2, c = 1 - y:
y
Reemplazando las variables:
y
Por lo tanto se obtienen dos funciones inversas (una por cada rama de la parábola):
y
Verifique las funciones inversas en los 2 applets siguientes.
Applet 3): Función cúbica incompleta, f(x) = a x3 + d
La función cúbica es uno a uno. Por lo tanto no es necesario restringir el dominio.
Ejercicio:
Calcule la función inversa de :
Intercambiando variables,
Verifique en el applet la ecuación de la función inversa.
Applet 4): Función exponencial, f(x) = ax siendo a > 0 y a 1:
La función también es uno a uno.
Ejercicio:
Calcule la función inversa de :
Por lo tanto, : la función logarítmica es la función inversa de la exponencial.
Applet 5): Función logarítmica, f(x) = ln(x):
Como se sabe ln(x) es el logaritmo natural de x cuya base es el número de Euler (e): .
Así mismo se sabe que log(x) es el logaritmo decimal de x cuya base es 10:
La función logaritmo natural es uno a uno y su función inversa es .
La función logaritmo decimal también es uno a uno y su función inversa es
Ejercicios: Si se sabe que
Applet 6): Funciones trigonométricas:
6.a): Funciones seno y coseno
6.b): Funciones tangente y cotangente
6.c): Funciones secante y cosecante
La funciones trigonométricas son funciones periódicas y por lo tanto no son funciones uno a uno. Debido a esto, es necesario limitar el dominio de cada una.
Comúnmente se utiliza el prefijo arc para denotar las funciones inversas de las funciones trigonométricas.
Intervalo []
Intervalo []
Intervalo ()
Intervalo()
Intervalo [) (]
Intervalo [) (]
En los tres applets siguientes, si se activa el Dominio y Rango de una función y de su inversa se muestra una tabla en la que aparecen el dominio y rango de las dos funciones.
Además de eso, se muestran las coordenadas de los puntos A y su correspondiente opuesto, A'. La abcisa del punto A es el valor de x en radianes. Se puede modificar en la casilla de entrada. Así por ejemplo, en la función sen(x):
A = (1.57, 1) y A' = (1, 1.57)
Esto significa que sen(1.57) = 1 y arcsen(1) = 1.57 radianes.
Recuerde: el punto A se puede desplazar sobre la gráfica!