Tw. o istnieniu funkcji uwikłanej, Przykład 1.2

Zbadamy, czy w otoczeniach punktów

istnieją jednoznacznie wyznaczone funkcje zmiennej

uwikłane równaniem

. W tym celu wykorzystamy następujące twierdzenie: Jeśli funkcja dwóch zmiennych

posiada ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w otoczeniu punktu

oraz

i ,

to w pewnym otoczeniu punktu

istnieje dokładnie jedna funkcja

uwikłana równaniem

i spełniająca warunek

!	Funkcje uwikłane, o których mowa w powyższym twierdzeniu to funkcje zmiennej . Analogiczne twierdzenie zachodzi również dla funkcji uwikłanych zmiennej (patrz przykład 1.4).

Rozwiązanie. Definiujemy pomocniczą funkcję

i sprawdzamy założenia twierdzenia w każdym punkcie oddzielnie.

Założenia twierdzenia są spełnione dla punktów

, a zatem

istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana określona na pewnym otoczeniu punktu taka, że oraz
istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana określona na pewnym otoczeniu punktu taka, że .

Twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu funkcji uwikłanej zmiennej

na otoczeniu punktu

. Aby rozwiązać ten problem trzeba zastosować inną metodę. Uwaga. Można pokazać, że w otoczeniu punktu

istnieje funkcja uwikłana zmiennej

i funkcja ta ma minimum lokalne w

. W konsekwencji w otoczeniu punktu

nie istnieje funkcja uwikłana zmiennej

Aby zobaczyć funkcję uwikłaną, której wykres przechodzi przez dany punkt, przekliknij w ten punkt.

Nowe zasoby