SRCalc: Special Relativity calculator
SRCalc (Calcolatrice Relatività ristretta)
https://www.geogebra.org/m/wqf5bEum (due piani affiancati) ** questo foglio ***
https://www.geogebra.org/m/XNzUyQcp (unico piano)
https://www.geogebra.org/m/pcUU2s7Q (regolo relativistico) (composizione velocità)
https://www.geogebra.org/m/N2Rybc85 (orologio a luce e calcolo di gamma)
https://www.geogebra.org/m/qnh59yx6 ("paradosso" dei gemelli)
https://www.geogebra.org/m/tahy8kqj (sfere di luce)
Un sistema in moto rispetto ad un altro misura le coordinate degli eventi in modo diverso. Qui considereremo solo il moto in una sola dimensione, lungo una retta. A system in motion with respect to another measures the coordinates of events in a different way. Here we will consider only the motion in one dimension, along a straight line. You can change the relative velocity of K' and the coordinates of the events P, Q and R on the left (K) and A, B and C on the right (K'). The position of an event in K can be changed along the ct axis . Using the mouse wheel you can zoom-out , so you can cover a wider range of coordinates. If you want to reverse the system considered at rest, just reverse the sign of the speed.[/i]. You can determine the spacetime interval moving and . In https://www.geogebra.org/m/XNzUyQcp versione con un unico piano grafico.
Di seguito il disegno a colori presentato da Minkowski nella presentazione di Raum und Zeit nel 1908
Spaziotempo e sua rappresentazione
Due laboratori K e K', in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro, usano sistemi di riferimento la cui origine è nella posizione 0 unità all'istante iniziale.
Un Evento E(x, t) è rappresentato da un punto nel grafico cartesiano, le sue coordinate saranno diverse in K o in K'. Un evento rappresenta un fenomeno fisico, come l'essere per un corpo in una data posizione in un determinato tempo.
Nel caso di un corpo, le sue posizioni nel corso del tempo rappresentano una sequenza di eventi che formano una linea nel grafico. Il grafico è quindi rappresentato nello spazio-tempo.
Come si usa in relatività il tempo è indicato sull'asse verticale "y", rinominato "ct" o "t", mentre la posizione su quello orizzontale "x". Si conviene anche di porre pari a 1 la velocità della luce: il tempo verrà misurato sempre in secondi, ma le distanze saranno misurate in "secondi luce" (distanza percorsa dalla luce in un secondo).
Poiché entrambi i sistemi K e K' nel misurare la velocità della luce a partire dall'origine dovranno trovare un valore uguale pari a 1, sarà +-c=+-1=x/t = x'/t',relazione che porta alla costanza del valore -(ct)² + x² = -(ct')² + x' ² = (intervallo spaziotemporale)^2: per gli eventi sullo stesso percorso di un segnale luminoso questa costante è nulla.
Più in generale l'equazione (ct)² - x² = costante è quella di un'iperbole; la costante definisce l'intervallo spaziotemporale tra due eventi (anche non lungo le bisettrici): tutti gli intervalli spaziotemporali uguali che hanno un estremo in O, avranno il secondo estremo su una stessa iperbole.
Si noti che l'iperbole con data costante viene rappresentata - nel suo complesso - nello stesso modo nel sistema di coordinate (x', t'), in quanto (ct')² - x'² = costante.
Si parla di intervallo spaziotemporale tra due eventi P e Q (quindi indipendentemente da O), parlando del valore di c(tP-tQ)^2-(xP-xQ)^2. Se l'intervallo spaziotemporale tra P e Q è nullo allora un raggio di luce partente da Q può raggiungere l'evento P o viceversa, a seconda da quale evento preceda l'altro.
Se un evento che non può raggiungere direttamente un secondo evento da un raggio di luce (o essere raggiunto) ma uno dei due è nel "cono del futuro" dell'altro (che ha come frontiera le linee inclinate a 45° che partono dal punto), il collegamento può essere effettuato tramite una riflessione (si veda l'esercizio proposto di sotto) nel caso in cui i due eventi si trovino nei coni superiore e inferiore di uno dei due eventi. L'intervallo spaziotemporale potrà essere misurando spostando i punti e su due eventi distinti.
Contrazione delle lunghezze: la distanza L tra due corpi deve essere calcolata quando essi sono in condizione di contemporaneità, il che significa su linee parallele all'asse "x": ad esempio in K', gli eventi A e B sono contemporanei e la loro distanza può essere misurata (vale 1 secondo-luce).
Per K però gli eventi non sono più contemporanei (si veda a sinistra): per ottenere la contemporaneità per K almeno uno dei due corpi dovrà essere considerato in un diverso istante di tempo, ad esempio un corpo dovrà passare dallo stato A allo stato C (stessa posizione per K', diverso tempo): C e B ora saranno contemporanei per K, ma il valore della lunghezza CB, per K, non è più 1 secondo luce, ma è diminuito.
Dilatazione del tempo: Un orologio - in quiete per K - batte dei colpi in successioni regolari. Per fare un esempio poniamo i punti P, Q ed R nelle posizioni P(0, 1), Q(0, 2) ed R(0, 3), cui si aggiunge O(0, 0): abbiamo quattro eventi che avvengono per K nella stessa posizione x = 0 s_luce ad intervalli di un secondo.
L'orologio non sarà in quiete per K', e i suoi battiti avverranno in posizioni diverse; ciò che è più interessante, noteremo che l'intervallo tra i singolo battiti sarà aumentato, non sarà più di un secondo. Si osservino le ordinate t' degli eventi O, P, Q ed R calcolandole sul sistema K' a destra.
La misura degli intervalli di tempo fatta in un sistema in cui l'orologio è in quiete è minima.
A volte si dice che il tempo "proprio" scorre più lentamente, ma la frase è fonte di molti fraintendimenti.
Intervallo spaziotemporale: approfondimenti Se -(ct)^2+x^2 = costante = -(ct')^2+x'^2 allora l'iperbole disegnata nel sistema di coordinate K è disegnata nello stesso identico modo nel sistema K'.
Nel grafico sono rappresentate solo le iperboli passanti per le unità di misura.
Di conseguenza se un evento P sta su un'iperbole in K, lo stesso evento P starà sulla stessa iperbole in K', in genere non con le stesse coordinate.
La costante individua l'intervallo spaziotemporale tra O e P, è quindi INVARIANTE nella trasformazione K <--> K'.
L'intervallo spaziotemporale sarà di tipo tempo quando sta nelle zone in grigio sopra e sotto l'origine (zona interna dei "coni di luce"), di tipo luce per eventi sulle diagonali e di tipo spazio nella zona restante.
In realtà ogni evento, non solo l'origine, ha il suo proprio "cono di luce", ma rappresentare i diversi coni porterebbe a un grafico quasi illeggibile.
Composizione delle velocità
Vedi anche https://www.geogebra.org/m/TFWVAWk7
Si lasci velocità = 0.5 s_luce/s. Si collochi l'evento R in (3, 4): una legge oraria del moto rettilineo uniforme indicata dal segmento OR potrà essere identificata tramite lo strumento "retta tra due punti", nella barra degli strumenti.
Successivamente nella barra degli strumenti, sotto l'icona di un angolo sarà possibile usare lo strumento "Pendenza" e applicarlo alla retta
La pendenza sarà il reciproco della velocità, he va misurata dall'angolo rispetto all'asse t , non all'asse x.
Passando al grafico nel piano K', potremo disegnare retta OR e calcolare pendenza e velocità anche in questo piano.
Sul piano K la velocità di E è v=0.50 s-luce/s.
Sul piano K' la velocità di R rispetto ad E è u'=0.40 s-luce/s (reciproco di 2.5).
Sul piano K la velocità di R è u=0.75 s-luce/s. (reciproco di 1.333...)
Si verifichi la formula
u = (u' + v) / ( 1 + u' v / c^2) con c= 1s_luce/s
Si avrà 0.75 = (0.4 + 0.5) / (1 + 0.4 * 0.5 1) = 0.9/1.2 = 3/4 = 0.75 come richiesto.
Riflessione: posto v = 0.5 c, si posizioni P in (0, 2) e Q in (1, 1); un raggio di luce può raggiungere Q da O ed essere poi riflesso indietro (le "x" diminuiscono), fino a raggiungere P. P si trova per il primo sistema nella stessa posizione di O, ma in un diverso istante di tempo. La velocità della luce può essere calcolata dallo spazio percorso (1 + 1 secondi luce) diviso per il tempo impiegato (1+1 secondi) quindi c = 1 (s luce/s). Per il secondo sistema P si trova in una diversa posizione ("indietro" rispetto all'origine) ma può essere sempre raggiunto dal raggio riflesso da Q.
La velocità della luce sarà sempre ((0.577 + (0.577+1.155)) s luce) / (2. 309 s) = 1 (s luce / s) come prima.
Spaziotempo e sua rappresentazione
Due laboratori K e K', in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro, usano sistemi di riferimento la cui origine è nella posizione 0 unità all'istante iniziale.
Un Evento E(x, t) è rappresentato da un punto nel grafico cartesiano, le sue coordinate saranno diverse in K o in K'. Un evento rappresenta un fenomeno fisico, come l'essere per un corpo in una data posizione in un determinato tempo.
Nel caso di un corpo, le sue posizioni nel corso del tempo rappresentano una sequenza di eventi che formano una linea nel grafico. Il grafico è quindi rappresentato nello spazio-tempo.
Come si usa in relatività il tempo è indicato sull'asse verticale "y", rinominato "ct" o "t", mentre la posizione su quello orizzontale "x". Si conviene anche di porre pari a 1 la velocità della luce: il tempo verrà misurato sempre in secondi, ma le distanze saranno misurate in "secondi luce" (distanza percorsa dalla luce in un secondo).
Poiché entrambi i sistemi K e K' nel misurare la velocità della luce a partire dall'origine dovranno trovare un valore uguale pari a 1, sarà +-c=+-1=x/t = x'/t',relazione che porta alla costanza del valore -(ct)² + x² = -(ct')² + x' ² = (intervallo spaziotemporale)^2: per gli eventi sullo stesso percorso di un segnale luminoso questa costante è nulla.
Più in generale l'equazione (ct)² - x² = costante è quella di un'iperbole; la costante definisce l'intervallo spaziotemporale tra due eventi (anche non lungo le bisettrici): tutti gli intervalli spaziotemporali uguali che hanno un estremo in O, avranno il secondo estremo su una stessa iperbole.
Si noti che l'iperbole con data costante viene rappresentata - nel suo complesso - nello stesso modo nel sistema di coordinate (x', t'), in quanto (ct')² - x'² = costante.
Si parla di intervallo spaziotemporale tra due eventi P e Q (quindi indipendentemente da O), parlando del valore di c(tP-tQ)^2-(xP-xQ)^2. Se l'intervallo spaziotemporale tra P e Q è nullo allora un raggio di luce partente da Q può raggiungere l'evento P o viceversa, a seconda da quale evento preceda l'altro.
Se un evento che non può raggiungere direttamente un secondo evento da un raggio di luce (o essere raggiunto) ma uno dei due è nel "cono del futuro" dell'altro (che ha come frontiera le linee inclinate a 45° che partono dal punto), il collegamento può essere effettuato tramite una riflessione (si veda l'esercizio proposto di sotto) nel caso in cui i due eventi si trovino nei coni superiore e inferiore di uno dei due eventi. L'intervallo spaziotemporale potrà essere misurando spostando i punti e su due eventi distinti.
Contrazione delle lunghezze: la distanza L tra due corpi deve essere calcolata quando essi sono in condizione di contemporaneità, il che significa su linee parallele all'asse "x": ad esempio in K', gli eventi A e B sono contemporanei e la loro distanza può essere misurata (vale 1 secondo-luce).
Per K però gli eventi non sono più contemporanei (si veda a sinistra): per ottenere la contemporaneità per K almeno uno dei due corpi dovrà essere considerato in un diverso istante di tempo, ad esempio un corpo dovrà passare dallo stato A allo stato C (stessa posizione per K', diverso tempo): C e B ora saranno contemporanei per K, ma il valore della lunghezza CB, per K, non è più 1 secondo luce, ma è diminuito.
Dilatazione del tempo: Un orologio - in quiete per K - batte dei colpi in successioni regolari. Per fare un esempio poniamo i punti P, Q ed R nelle posizioni P(0, 1), Q(0, 2) ed R(0, 3), cui si aggiunge O(0, 0): abbiamo quattro eventi che avvengono per K nella stessa posizione x = 0 s_luce ad intervalli di un secondo.
L'orologio non sarà in quiete per K', e i suoi battiti avverranno in posizioni diverse; ciò che è più interessante, noteremo che l'intervallo tra i singolo battiti sarà aumentato, non sarà più di un secondo. Si osservino le ordinate t' degli eventi O, P, Q ed R calcolandole sul sistema K' a destra.
La misura degli intervalli di tempo fatta in un sistema in cui l'orologio è in quiete è minima.
A volte si dice che il tempo "proprio" scorre più lentamente, ma la frase è fonte di molti fraintendimenti.
Intervallo spaziotemporale: approfondimenti Se -(ct)^2+x^2 = costante = -(ct')^2+x'^2 allora l'iperbole disegnata nel sistema di coordinate K è disegnata nello stesso identico modo nel sistema K'.
Nel grafico sono rappresentate solo le iperboli passanti per le unità di misura.
Di conseguenza se un evento P sta su un'iperbole in K, lo stesso evento P starà sulla stessa iperbole in K', in genere non con le stesse coordinate.
La costante individua l'intervallo spaziotemporale tra O e P, è quindi INVARIANTE nella trasformazione K <--> K'.
L'intervallo spaziotemporale sarà di tipo tempo quando sta nelle zone in grigio sopra e sotto l'origine (zona interna dei "coni di luce"), di tipo luce per eventi sulle diagonali e di tipo spazio nella zona restante.
In realtà ogni evento, non solo l'origine, ha il suo proprio "cono di luce", ma rappresentare i diversi coni porterebbe a un grafico quasi illeggibile.
Composizione delle velocità
Vedi anche https://www.geogebra.org/m/TFWVAWk7
Si lasci velocità = 0.5 s_luce/s. Si collochi l'evento R in (3, 4): una legge oraria del moto rettilineo uniforme indicata dal segmento OR potrà essere identificata tramite lo strumento "retta tra due punti", nella barra degli strumenti.
Successivamente nella barra degli strumenti, sotto l'icona di un angolo sarà possibile usare lo strumento "Pendenza" e applicarlo alla retta
La pendenza sarà il reciproco della velocità, he va misurata dall'angolo rispetto all'asse t , non all'asse x.
Passando al grafico nel piano K', potremo disegnare retta OR e calcolare pendenza e velocità anche in questo piano.
Sul piano K la velocità di E è v=0.50 s-luce/s.
Sul piano K' la velocità di R rispetto ad E è u'=0.40 s-luce/s (reciproco di 2.5).
Sul piano K la velocità di R è u=0.75 s-luce/s. (reciproco di 1.333...)
Si verifichi la formula
u = (u' + v) / ( 1 + u' v / c^2) con c= 1s_luce/s
Si avrà 0.75 = (0.4 + 0.5) / (1 + 0.4 * 0.5 1) = 0.9/1.2 = 3/4 = 0.75 come richiesto.
Riflessione: posto v = 0.5 c, si posizioni P in (0, 2) e Q in (1, 1); un raggio di luce può raggiungere Q da O ed essere poi riflesso indietro (le "x" diminuiscono), fino a raggiungere P. P si trova per il primo sistema nella stessa posizione di O, ma in un diverso istante di tempo. La velocità della luce può essere calcolata dallo spazio percorso (1 + 1 secondi luce) diviso per il tempo impiegato (1+1 secondi) quindi c = 1 (s luce/s). Per il secondo sistema P si trova in una diversa posizione ("indietro" rispetto all'origine) ma può essere sempre raggiunto dal raggio riflesso da Q.
La velocità della luce sarà sempre ((0.577 + (0.577+1.155)) s luce) / (2. 309 s) = 1 (s luce / s) come prima.Regolo relativistico
