2.3. Задачі на побудову (циркулем та лінійкою)

2.3. Розв’язування задач на побудову

Фрагмент навчального посібника Інноваційні інформаційно-комунікаційні технології навчання математики : навч. посіб. / Т. Г. Крамаренко, В. В. Корольський, С. О. Семеріков, С. В. Шокалюк ; наук. ред. М. І. Жалдак. – Вид. 2, перероб. і доп. – Кривий Ріг : Криворізький держ. пед. ун‑т, 2019. – 444 с. – Режим доступу: http://elibrary.kdpu.edu.ua/xmlui/handle/123456789/3315. _________________________________________________________________________ Розглянемо, як за допомогою GeoGebra можна розв’язувати та подавати на занятті, пропонувати для самостійного опрацювання задачі на побудову за допомогою циркуля та лінійки. Розв’язування задачі полягає не стільки в побудові фігури, скільки у знаходженні способу, як це зробити, і відповідному доведенні. Основними етапами в розв’язуванні задачі є

аналіз,
побудова, що включає запис способу побудови фігур та власне виконання,
побудов,
доведення,
дослідження.

Основними методами розв’язування задач на побудову є

метод геометричних місць,
геометричних перетворень (симетрії, повороту, паралельного перенесення, гомотетії),
алгебраїчний методи.

Щоб розв’язати задачу методом геометричних місць, можна використати відповідне правило-орієнтир: якщо при аналізі задачі встановлено, що для знаходження розв’язку потрібно побудувати деяку точку А, яка задовольняє двом умовам α1 і α2, то спочатку будують дві фігури F1 і F2, відповідні цим умовам, а потім знаходять точку А, як перетин побудованих фігур: А = F1∩F2. Точка А вважається основним елементом побудови. Фігури F1 і F2 являють собою певні геометричні місця точок або множини точок. Оскільки задачу потрібно розв’язувати циркулем і лінійкою, то ці фігури повинні бути колами або прямими лініями, які відповідають певним властивостям. Доцільно розглянути як будують деякі геометричні місця точок, які найчастіше використовують при розв'язуванні задач на побудову. Відзначимо з них найголовніші: 1) точки, розташовані на заданій відстані від фіксованої точки; 2) точки, рівновіддалені від кінців даного відрізка; 3) точки, рівновіддалені від даної прямої; 4) точки, рівновіддалені від двох прямих; 5) точки, з кожної з яких даний відрізок видно під заданим кутом (дивитися додаток 1); 6) точки, відношення відстаней від яких до фіксованих точок величина постійна (для точки М і точок А, В маємо АМ/МВ=m/n, де m/n=λ≠1); 7) точки, які ділять навпіл хорди, що виходять з однієї точки кола (дивитися додаток 2);; 8) точки, для кожної з яких різниця квадратів відстаней від двох даних точок А і В постійна; 9) точки, для кожної з яких сума квадратів відстаней до двох даних точок А і В є сталою величиною.

Визначити геометричне місце точок, які ділять навпіл хорди, що виходять з однієї точки на колі.

Побудувати трикутник за трьома сторонами. Дослідити можливість виконання побудови.

Побудувати коло описане навколо трикутника. Побудувати коло, вписане в трикутник.

Продемонструємо застосування методу геометричних місць точок на прикладі задачі

Побудувати трикутник АВС, якщо задано радіус кола, описаного навколо трикутника, кут А і медіану, проведену з вершини В (дивитися додаток 3). Необхідно з’ясувати, до знаходження яких точок зводиться розв’язування задачі, і які дві вимоги мають ці точки задовольняти. У запропонованій задачі такими є точки С, А – вершини трикутника і точка L – основа медіани. На другому кроці відкидають одну з вимог задачі і будують геометричне місце точок, що задовольняють іншу вимогу. На третьому кроці будують ГМТ, які задовольняють раніше опущену вимогу. На заключному знаходять точки перетину геометричних місць точок. Розглянемо хід виконання побудов (рис. 2.17). Побудова до задачі (розробка GeoGebra класична) 1) У лівому верхньому куті будуємо два відрізки, що відповідають радіусу кола та медіані, а також кут. Доцільно використати інструмент Прапорець, щоб тимчасово приховувати ці побудови, щоб учень мав змогу подумати, що саме йому потрібно будувати. 2) Будуємо коло заданого радіуса з центром у довільній точці О (інструмент Коло / Циркуль), проводимо у ньому довільну хорду ХВ (точки Х, В прикріпити до кола; використати послугу Об’єкт / Відрізок). 3) Від променя ХВ відкладаємо кут з вершиною у точці Х, рівний даному (інструмент Кут, рівний даному). Збільшення чи зменшення величини кута вестиме до автоматичної перебудови креслення. Друга сторона кута перетне коло у точці, яку позначимо С. Третя вершина трикутника − точка А буде лежати на колі в тій же півплощині по відношенню до прямої ВС, що й точка Х (ГМТ №5). 4) Будуємо коло з центром у точці В і радіусом, рівним медіані (ГМТ №1) (інструмент Циркуль). 5) Геометричним місцем середин всіх хорд, що виходять з вершини С, є коло з діаметром ОС (ГМТ №7). Точка К − середина ОС. 6) Якщо кола (К, OК) і (B, m_b) перетинаються в точці, яка лежить в одній півплощині з точкою Х відносно прямої ВС, то через цю точку L проводимо промінь СL до перетину з колом (О, R). Отримаємо точку А. 7) АВС – шуканий трикутник, оскільки задовольняє всім вимогам, що ставились в умові задачі. 8) Досліджуємо за вихідними даними вид трикутника, довільно змінюючи кут, довжину радіуса кола та медіани. Задача має розв’язки, якщо кола (K, OK) і (B, m_b) перетинаються в точці над хордою ВС. Фрагмент з Інноваційні інформаційно-комунікаційні технології навчання математики : навч. посіб. / В. В. Корольський, Т. Г. Крамаренко, С. О. Семеріков, С. В. Шокалюк ; наук. ред. М. І. Жалдак. – Вид. 2, перероб. і доп. – Кривий Ріг : Криворізький держ. пед. ун‑т, 2019.

Відеопояснення до задачі на побудову трикутника

Побудувати трапецію за її основами та діагоналями

Контрольні питання і завдання

1. Виконати креслення до теми «Чотирикутники» за допомогою системи динамічної математики: а) побудувати ромб АВСD, якщо задана середина сторони АС (АВ, АD, ВС) та центри кіл, описаних навколо трикутників АВС і АDС; б) побудувати ромб АВСD за розташуванням вершин А і В, відстанню від даної точки М до середини DС; в) побудувати квадрат за сумою сторони з діагоналлю; г) побудувати квадрат за різницею довжин діагоналі та сторони; д) на місцевості була відмічена ділянка АВСD квадратної форми. Дощі розмили її межі, збереглася віха в центрі ділянки і кілочки на сторонах АВ та СD. Чи можна за цими даними відновити межі ділянки? Чи можна розв’язати завдання, якщо другий кілок забитий на стороні ВС? е) побудувати трапецію за середньою лінією, відстанню між основами та кутами при одній з основ. 2. На сторонах паралелограма у зовнішній бік побудовано рівносторонні трикутники. Вершинами якого чотирикутника є ті їх вершини, які не лежать на сторонах паралелограма? Дослідити вид чотирикутника залежно від характеристик паралелограма.