Mit Cavalieri zum Kugelvolumen
Eine Halbkugel sowie ein kegelförmig ausgebohrter Zylinder mit entsprechenden Maßen werden auf einer beliebigen Höhe h von einer horizontalen Ebene geschnitten. Als Schnittflächen entstehen die blaue Kreisscheibe und der rote Kreisring.
Idee
Der Vergleich der Schnittflächen führt mithilfe des Satzes von Cavalieri zur Volumengleichheit der Halbkugel und des ausgebohrten Zylinders. Dies wird benutzt, um auf einfache Weise die Formel für das Kugelvolumen herzuleiten.
Hierbei ist wichtig, dass man sich bei der Betrachtung nicht auf die Radien fokussiert und darüber auf die Flächen schließt.
Zuerst müssen die Flächen einzeln basierend auf der Geometrie berechnet werden (oberer Teil der Zeichnung), erst danach werden die Flächen in Beziehung zueinander gesetzt (unterer Teil).
Merke: Die Fläche des Kreisrings entsteht durch die Subtraktion zweier Flächen, nicht basierend auf einem einzelnen Radius (siehe letzte Zeile in der Zeichnung)!
Prinzip von Cavalieri
Offensichtlich gilt , und zwar unabhängig von der Höhe. Mit dem Prinzip von Cavalieri folgt darum, dass die Halbkugel und der ausgebohrte Zylinder das gleiche Volumen haben müssen.
Volumenformel
Das Volumen des ausgebohrten Zylinders berechnen wir als die Differenz aus dem Zylindervolumen (Grundfläche mal Höhe, hier R) und dem ausgebohrten Kegelvolumen (1/3 mal Grundfläche mal Höhe, wieder R):
Wie oben gezeigt, ist dies auch das Volumen der Halbkugel. Somit gilt für das Volumen der gesamten Kugel: