projections of quadrics

this activity is a page of geogebra-book elliptic functions & bicircular quartics & . . .(27.04.2023)

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2-teilige Schnitte der Möbiuskugel mit einer anderen Quadrik besitzen 4 paarweise orthogonale Symmetriekreise. Mit einer geeigneten Möbiustransformation kann man erreichen, dass die Koordinatenebenen Symmetrie-Ebenen sind, und dass die Quadrik - in diesem Fall ein elliptischer Zylinder - den Einheitskreis in der

-Ebene nicht schneidet. Stereographische Projektion ergibt eine bizirkulare Quartik mit der angegebenen Gleichung:

Hieraus lassen sich die Scheitel, das sind die Schnittpunkte mit den Achsen und - falls vorhanden - mit dem Einheitskreis berechnen: zB.

und

. Vor allem sind mit dieser Gleichung die Brennpunkte berechenbar (siehe

die nächste Aktivität). Damit läßt sich überprüfen, dass die Quartik Winkelhalbierende der Kreisbüschel durch die Brennpunkte sind, und somit Lösungskurven der zugehörigen elliptischen Funktion. Eine Parameterdarstellung der 2-teiligen bizirkularen Quartik ergibt sich aus den Projektionen: senkrecht in die

-Ebene projiziert (Schnitt des Zylinders mit der Ebene): Ellipse

, mit

und

. Die Schnittkurve mit der Einheitskugel stereographisch in die komplexe Ebene projiziert, ergibt

. Ein Nachweis, dass es sich um Lösungskurven der zugehörigen elliptischen Funktion handelt, scheitert an den aufwändigen Rechnungen.

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