Integrales iteradas y área en el plano

Author:pablo Andrés Pulgarín

Integrales iteradasLas integrales dobles son una forma de integrarse en una región bidimensional. Entre otras cosas, nos permiten calcular el volumen bajo una superficie. Esta integral se conoce como una integral doble.Integrales iteradasUna integral iterada es una integral evaluada varias veces sobre la misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluadas con respecto a diferentes variables).Es importante tener en cuenta en qué posición se dan los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden se ejecutarán los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va a integrar primero considerando el diferencial dx o el diferencial dy o viceversa.Área de una región en el plano del eje “x”Si la región R está definida por $a \le x \le b$ y $g_1 (x) \le y \le g_2 (x)$ , donde $g_1 (x)$ y $g_2 (x)$ son funciones continuas en el eje x del intervalo [a, b]. La región R esta dada por $\displaystyle A = \int_{a}^{b}{\int_{g_1 (x)}^{g_2 (x)}{dy} dx}$

Área de una región en el plano del eje “y”Si la región R está definida por $c \le y \le d$ y $h_1(x) \le x \le h_2(y)$ , donde $h_1 (y)$ y $h_2 (y)$ son funciones continuas en el eje x del intervalo [c, d]. La región R esta dada por $\displaystyle A = \int_{c}^{d}{\int_{h_1 (y)}^{h_2 (y)}{dx} dy}$

Calcular el área de la siguiente gráfica utilizando integrales iteradas dobles.

SoluciónSe tomará el área bajo el eje “y”, por lo que la fórmula a utilizar es: $\displaystyle \int_{c}^{d}{\int_{h_1 (y)}^{h_2 (y)}{dx}dy}$ Las funciones en el eje y son: $h_1 (y)=0$ y $h_2 (y)=8$ .Y los límites inferior y superior respecto a ese eje son: $c=0$ y $d=3$ Sustituyendo todos estos datos en la fórmula $\displaystyle \int_{c}^{d}{\int_{h_1 (y)}^{h_2 (y)}{dx} dy} = \int_{0}^{3}{\int_{0}^{8}{dx} dy}$ Resolviendo la integral del centro $\displaystyle \int_{0}^{8}{dx} = \left[x \right]_{0}^{8} = 8 - 0 = 8$ Continuando $\displaystyle \int_{0}^{3}{\int_{0}^{8}{dx} dy} = \int_{0}^{3}{8 dy} = 8\int_{0}^{3}{dy}$ $\displaystyle = 8 \left[ y \right]_{0}^{3} = 8(3 - 0) = 8(3) = 24$ Por lo tanto, la figura tiene un área de $A = 24 u^2$

Integrales iteradas y área en el plano

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