Didaktischer Kommentar
Allgemeines
Für Lehrer*innen wurde zu dieser GeoGebra Lernumgebung dieser didaktische Kommentar geschrieben, welcher die konkrete Umsetzung im Unterricht vereinfachen und unterstützen soll. Das gesamte Buch wurde anwendungsorientiert gestaltet und greift immer wieder Beispiele aus dem Alltag (der Schüler*innen) auf.
Die Lehrkräfte, welche im Rahmen der Themenerarbeitung die Rolle des Coaches übernehmen, füllen dabei eine wesentliche Rolle aus. Diese Rolle ist v.a. für die Umsetzung im Schulunterricht von großer Bedeutung, denn die Lernumgebung unterstützt die Lehrkraft bei ihren Tätigkeiten. Die Lernumgebung dient nicht dem völligen Selbststudium der Schüler*innen. Zur Erklärung wesentlicher Grundkonzepte und Fragestellungen zur Differentialrechnung sollten die Lehrkräfte im Fokus stehen.
Bei (fast) allen Aufgaben dieses Buches (insgesamt 23) ist es notwendig, dass Lehrende die gestellten Fragen bzw. Aktivitäten in den jeweiligen Kontext eingliedern. D.h. es müssen gewisse Grundlagen und Konzepte im (digitalen oder analogen) Schulunterricht erklärt werden, ehe sich die Schüler*innen dem Lösen der einzelnen Aufgaben widmen.
Um hierfür eine konkrete Aufgabe anzuführen (exemplarisches Beispiel): Bei der Aktivität Einfache Ableitungen soll der/die Schüler*in erstmals die zweite Ableitung einer Funktion berechnen. Hier ist es also die Aufgabe der Lehrkraft, die Lernenden vorher zu informieren, wie die zweite Ableitung berechnet/veranschaulicht wird. Dieser Input ist hier von großer Bedeutung.
Außerdem ist es die Aufgabe der Lehrkraft, die gelösten Aufgaben via GeoGebra Classroom zu verfolgen und zu kontrollieren. Nur so kann eine gute Feedbackkultur und Lernerfolg seitens der Schüler*innen garantiert werden.
Informationen
Thema: Differentialrechnung - Einführung
Kapitel: Vorwissen, Motivation, Differenzen- und Differentialquotient, Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln, Untersuchen von Polynomfunktionen, Extremwertaufgaben
Schulform- und stufe: AHS, 7. Klasse
Dauer: ca. 6-7 Unterrichtseinheiten (UE); je nach Vorkenntnissen/Klassenzusammensetzung/Schulform/Leistungsvermögen variabel! (Dauer kann daher auch mehr oder weniger stark abweichen)
Voraussetzungen
inhaltlich: insbesondere lineare Funktionen, Polynomfunktionen
technisch: geeignete Endgeräte (z.B. PC, Tablet, evtl. auch Smartphone mit GeoGebra Apps, ...)
Lernziele und Kompetenzen (Lehrplan AHS)
Kompetenzmodul 5: Grundlagen der Differentialrechnung anhand von Polynomfunktionen
1. Einfache Polynomgleichungen vom Grad 4 im Bereich der reellen Zahlen lösen können (sofern sie in der Differentialrechnung verwendet werden)
2. Den Differenzenquotienten (die mittlere Änderungsrate) und den Differentialquotienten (die lokale bzw. momentane Änderungsrate) definieren können
3. Den Differenzen- und Differentialquotienten als Sekanten- bzw. Tangentensteigung sowie in außermathematischen Bereichen deuten können
4. Den Begriff der Ableitungsfunktion kennen; höhere Ableitungen kennen
5. Ableitungsregeln für Potenz- und Polynomfunktionen kennen und anwenden können
6. Monotonie- und Krümmungsbereiche, Extremstellen, Wendestellen und Sattelstellen (Terrassenstellen) mit Hilfe der Ableitung beschreiben können
7. Untersuchungen von Polynomfunktionen in inner- und außermathematischen Bereichen durchführen können; einfache Extremwertaufgaben lösen können (Ermittlung von Extremstellen in einem
Intervall)
(vgl. BMB, 2016, S. 72)
Lernziele und Kompetenzen (SRP)
Inhaltsbereich Analysis (AN)
- Änderungsmaße (AN 1.1 – AN 1.4)
- Regeln für das Differenzieren (AN 2.1)
- Ableitungsfunktion/Stammfunktion (AN 3.1 – AN 3.3)
(vgl. Aue et al., 2019, S. 14)
Kapitel und Aufgaben: Ein Kurzüberblick
1. Vorwissen
2. Motivation
3. Differenzen- und Differentialquotient
4. Ableitungsfunktion
5. Einfache Ableitungsregeln
6. Untersuchen von Polynomfunktionen mittels Ableitungen
7. Extremwertaufgaben
8. Geschichtliches
Kapitel 1: Vorwissen
- enthält fünf digitale Arbeitsblätter
- beschäftigt sich mit linearen Funktionen, Polynomfunktionen
- aktiviert das Vorwissen zur Differentialrechnung
- Arbeitsaufwand (ca.): 30 min
Kapitel 2: Motivation
- enthält ein digitales Arbeitsblatt
- beschäftigt sich mit Temperaturmessungen
- motiviert die Thematik der Differentialrechnung im Schulunterricht
- Arbeitsaufwand (ca.): 15 min
Kapitel 3: Differenzen- und Differentialquotient
- enthält fünf digitale Arbeitsblätter
- nähert sich zunächst dem Differenzenquotienten, ehe der "Grenzübergang" auf den Differentialquotienten führt
- verwendet die Grundvorstellung über Änderungsmaße
- Arbeitsaufwand (ca.): eine UE (evtl. mit Hausübung)
Kapitel 4: Ableitungsfunktion
- enthält zwei digitale Arbeitsblätter
- beschäftigt sich mit der grafischen Darstellung von Ableitungsfunktionen
- soll einen ersten Einblick geben, wie Ableitungsfunktionen aussehen könnten
- noch kein "Rechnen mit Ableitungsregeln" erforderlich
- Arbeitsaufwand (ca.): 20-25 min
Kapitel 5: Ableitungsregeln
- enthält fünf digitale Arbeitsblätter
- beschäftigt sich mit wichtigen Ableitungsregeln (im Sinne der Grundkompetenzen) und der Ableitung von geometrischen Formeln
- betrachtet auch höhere (zweite/dritte) Ableitungen
- Rechnen mit Ableitungsregeln wird anhand von Beispielen trainiert
- Arbeitsaufwand (ca.): eine UE
Kapitel 6: Ableitungsregeln
- enthält drei digitale Arbeitsblätter
- beschäftigt sich mit dem Untersuchen von Polynomfunktionen mittels Ableitungen (Monotonie, Krümmung, Extrema, Wendepunkte, usw.)
- betrachtet konkrete Anwendungsbeispiele (z.B. ein Auto fährt in eine Kurve)
- baut auf der ersten und zweiten Ableitung einer Funktion auf
- Arbeitsaufwand (ca.): 30-45 min
Kapitel 7: Extremwertaufgaben
- enthält ein digitales Arbeitsblatt
- beschäftigt sich mit einer konkreten Extremwertaufgaben
- Anwendungsbeispiel, das auch im Alltag motiviert werden kann
- geometrische Lösung wird angeboten
- Arbeitsaufwand (ca.): 30 min
Kapitel 8: Geschichtliches (optional)
- enthält ein digitales Arbeitsblatt
- beschäftigt sich mit der Geschichte (den Anfängen) der Differentialrechnung
- von Isaac Newton bis Gottfried W. Leibniz
- dient als Zusatzmaterial und deckt keine Kompetenzen des Lehrplans ab
- Arbeitsaufwand (ca.): 15 min