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lineare Gleichungssysteme

Author:Dr. Degen

kurze Einführung

Das Lösen lineare Gleichungssysteme aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen ist eine Grundverfahren, welches in zahlreichen Kontexten angewendet wird. Dazu gehört
  • die Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden ebenso wie 
  • die Ermittlung der Gleichung einer linearen Funktion durch zwei gegebene Punkte oder 
  • die Rekonstruktion von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften in einem Ansatz mit Parametern
Beispiel allgemeine und normierte Form

Lösungsverfahren und Beispiellösung

Für die Lösung sind das Gleichsetzen- oder auch das Einsatzverfahren geeignet. Besonders schnell ist dabei das Additionsverfahren:
  1. Eine oder beide Gleichungen werden mit geeigneten Zahlen multipliziert, so dass sich bei Addition der Gleichungen eine Variable reduziert. Geeignete Faktoren ergeben sich aus dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Vorfaktoren einer der Variablen. 
  2. Der für die andere Variable gefundene Wert wird rückeingesetzt und die erste Variable berechnet.
Lösung zum Beispiel: Ziel: Variable x eliminieren; das kgV(2,3)=6 liefert die geeigneten Faktoren 3 und -2 für die beiden Gleichungen: Die Rückeinsetzung liefert , also . Die Lösungsmenge besteht aus dem Zahlenpaar x=1 und y=1 : . Sonderfälle Es gibt zwei Sonderfälle, die bei der Addition der vervielfachten Gleichungen entstehen können:
  1. die Ergebnisgleichung ist widersprüchlich, z.B.
  2. die Ergebnisgleichung ist allgemeingültig, z.B.
Im ersten Fall ist das Gleichungssystem nicht lösbar, die Lösungsmenge leer. im zweiten Fall besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungspaare, die Gleichungen sind äquivalent. Jedes Paar, das eine Gleichung erfüllt, erfüllt auch die andere.

Veranschaulichung und Übung

Aufgaben

Gehen Sie das Blatt sorgfältig durch und rechnen Sie im Heft nach. Verändern Sie die Parameter im Gleichungssystem und rechnen Sie erneut im Heft. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Resultat von Geogebra. Tipp: beginnen Sie zunächst mit natürlichen Zahlen.

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