Sigma-Regeln, Sigma-Umgebungen
Voraussetzung für die Sigmaregeln
Sie machen ein Bernoulli-Experiment. Die einzig möglichen Ergebnisse sind das Ereignis oder das Gegenereignis .
- Die Wahrscheinlichkeit , mit der das Ereignis erscheint, ist bekannt.
- Die Anzahl , die angibt, wie oft das Experiment wiederholt wird, ist bekannt.
Sigma ist die Standardabweichung
Die Standardabweichung ist für die Binomialverteilung einfach und schnell berechnet: . Wenn man sich die Gauß-Glocke ansieht, die zu einer Binomialverteilung mit einer Wahrscheinlichkeit und einer Versuchsanzahl gehört, dann ist die Standardabweichung die Entfernung von einem Wendepunkt der Glocke bis zum Erwartungswert . Man könnte auch sagen: Die Breite der Gauß-Glocke beträgt auf halber Höhe etwa .
Bei der Binomialverteilung bekommt die Standardabweichung über die Sigmaregeln eine schöne quantitativ fassbare Bedeutung.
Definition: Sigma-Umgebungen
Eine Sigma-Umgebung ist bei der graphischen Darstellung der Binomialverteilung mit einer Gauß-Glocke ein Bereich (ein Intervall) auf der k-Achse, also auf der Abszisse. Genau in der Mitte dieses Intervalls befinet sich der Erwartungswert .
- Einfache Sigmaumgebung:
- Zweifache Sigmaumgebung:
- ...
- c-fache Sigmaumgebung:
Sigma-Regeln geben Sicherheitswahrscheinlichkeiten an
Wenn ein Bernoulli-Experiment durchgeführt wird, dann kann man mit einer bestimmten Sicherheit sagen, in welchem Bereich die Anzahl der günstigen Ereignisse liegen wird. Folgendes lässt sich vorhersagen:
- Mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von liegt das in der einfachen Sigma-Umgebung
- Mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von liegt das in der zweifachen Sigma-Umgebung
- Mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von liegt das in der dreifachen Sigma-Umgebung
- Mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von liegt das in der 1,64-fachen Sigma-Umgebung
- Mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von liegt das in der 1,96-fachen Sigma-Umgebung
- Mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von liegt das in der 2,58-fachen Sigma-Umgebung
Die Laplace-Bedingung
Die Sigmaregeln sind aber nicht immer ganz genau. Insbesondere für kleine oder sehr kleine oder sehr große können die berechneten Wahrscheinlichkeiten stark von den Sigmaregeln abweichen.
Wann dürfen diese Regeln denn guten Gewissens angewendet werden?
Immer dann, wenn die Laplace Bedingung erfüllt ist, wenn:
Mit dem folgenden Geogebra-Arbeitsblatt kann man sich auch jede
beliebige andere Sigmaregel einstellen: Der Funktionsgraf, der dort die
Glockenkurve darstellt, ist die sogenannte Standard-Normalverteilung.
Diese hat die gleiche Form, wie die Glocke der Binomialverteilung.
Im folgenden Arbeitsblatt kann die oben beschriebene Ungenauigkeit erforscht werden: