Vigas Continuas: Ecuación de los Tres Momentos
ACTIVIDAD 1. Definiendo "vigas contínuas".
Lo primero que debes realizar es una lectura detallada de las Secciones 8.1., 8.2. y 8.3. del libro de texto, Resistencia de Materiales de Pytel y Singer (https://drive.google.com/file/d/10uE63tndb1CAZw-kmKgNWyBKHdMk8WZW/view?usp=sharing), y responder las siguientes preguntas.
PREGUNTA 01.
Tratándose de vigas con tres o más apoyos (dos o más tramos), disponiendo de uno o más apoyos "redundantes", se trata de ¿estructuras determinadas o indeterminadas?
Para analizar una viga continua es necesario:
- Considerar deflexión nula en los apoyos (simplemente apoyada o articulada).
- Considerar como desconocidos o hiperestáticos los momentos flexionantes en los apoyos (momentos de continuidad).
PREGUNTA 02
¿En qué método se base la Ecuación de los tres Momentos?
Imagen 1. Una carga cualquiera sobre una viga continua de dos tramos
PREGUNTA 03
¿Cuál es el valor de los momentos 1 y 3, si la viga está simplemente apoyada (o articulada) y no tienen continuidad?
Imagen 2. Identificando los términos de la Ecuación de los tres Momentos.
Imagen 3. Análisis de alturas.
Pregunta 04.
¿Si en la Ecuación de los tres Momentos las alturas 1 y 3 son cero, cómo quedaría finalmente?
ACTIVIDAD 02. Encontrando momentos de continuidad y reacciones.
Leer la sección 8.4 del libro de texto y resolver el problema 812 (a mano).
A continuación se presenta una viga continua, encuentra los valores de momentos y reacciones en los apoyos y empotramiento.
Imagen 4. Problema propuesto.
Imagen 5. Identificación de términos para aplicar la Ecuación de los tres Momentos.
Iniciaremos aplicando la Ecuación de los tres Momentos.
En esta ecuación se pueden reconocer los valores para:
M1 = 0 (se trata de un apoyo simple y sin continuidad al lado izquierdo)
h1 = h2 = h3 = 0
Lo anterior deja a la Ecuación de los tres Momentos como:
Si se sustituyen los valores de L1 = 4m y L2 = 3m.
; ECUACIÓN A RESOLVER
Los términos y es el análisis de áreas de momentos para cada tramo de la viga. Se iniciará con el análisis del primer término.
Tramo 1, donde (A1a1) se refiere al diagrama de momentos de las cargas y momentos aplicados al Tramo 1 (como si se tratara de una viga simplemente apoyada) y medida de los centroides hacia el apoyo izquierdo.
Imagen 6. Análisis por tramos, TRAMO 1
Cuadro 1. Análisis de áreas y centroides para la primera parte del tramo 1 de la viga contínua.
Figura
Resultado de la primera parte,
Ahora se debe realizar el análisis de momentos en la segunda parte del Tramo 1.
| Figura | A1 | a1 | |
| 1 | | | |
| 2 | | | |
| | | Total = |
Imagen 7. Análisis de la segunda parte del Tramo 1
Aplicando la ecuación de la Tabla 8-1 del libro de texto:
Finalmente, aplicando el Principio de Superposición: .
Ahora se deberá trabajar en el Tramo 2.
Imagen 8. Análisis para el Tramo 2.
La ecuación a resolver es:
Sustituyendo valores:
Se trata de una ecuación con 2 incógnitas, estructura hiperestática.
En el lado del empotramiento se creará un "tramo fantasma".
Imagen 9. Incluyendo un tramo fantasma.
La Ecuación de los tres Momentos quedaría de la siguiente manera:
Sustituyendo valores, encontramos:
Finalmente obtenemos 2 ecuaciones y 2 incógnitas:
Al cambiar el M2 por "X" y M3 por "Y"
Se puede utilizar GeoGebra CAS para resolver el sistema de ecuaciones.
ACTIVIDAD 4. Encontrando el valor de los M2 y M3.
PREGUNTA 05.
¿Cuál es el valor de los Momentos 2 y Momento 3?
Imagen 10. Presentando los valores de los momentos y sus sentidos.
ACTIVIDAD 05. Encontrando el valor de las reacciones.
Siempre, trabajando por tramos, encontraremos el valor de las reacciones, aplicando:
Imagen 11. Encontrando los valores de las reacciones.
PREGUNTA 06
¿Cuál es el valor de las Reacciones 1 y Reacciones 2?
PREGUNTA 07
¿Cómo se calcularía el valor de la Reacción 3?
PREGUNTA 08.
¿Cuál es el valor de la Reacción 3?
ACTIVIDAD 06. Dibuja un diagrama final y presenta momentos y reacciones en los apoyos con sus valores y sentidos.
