Une construction du triangle équilatéral avec un seul cercle
Le théorème de Poncelet-Steiner (1833) nous assure que tout ce qui peut être construit à la règle et au compas (*) peut l'être à la règle seule, à condition que soit donné un cercle avec son centre. Il est bien connu par exemple que le triangle équilatéral peut être construit avec un compas et une règle. Une méthode très simple est enseignée dès le primaire et nécessite deux cercles, vous vous en souvenez ? Le théorème de Poncelet-Steiner affirme alors qu'il est possible de construire ce triangle rien qu'avec un cercle ! Ce résultat est surtout théorique, en pratique une telle construction est rarement détaillée. La méthode ci-dessous repose sur des constructions expliquées dans la page wikipedia du théorème. Un seul cercle donc, mais 17 droites ! Peut-on obtenir ce triangle avec moins de droites ? Je ne sais pas.
(*) Tout n'est pas constructible à la règle et au compas, l'heptagone régulier par exemple ne l'est pas. Mais cela c'est une autre histoire.