Гурвалжны элементүүд

Зохиогч:Х.Тойбазар Математикийн багш

Бид цаашид дараах нэрт томьео, тэмдэглэгээ $ABC$ гурвалжны оройнууд $a,b,c$ $BC,CA,AB$ талын урт $\alpha ,\beta ,\gamma$ $BC,CA,AB$ талын эсрэг орших өнцгийн хэмжээ $h_{a},h_{b},h_{c}$ $BC,CA,AB$ талд буулгасан өндрийн урт $m_{a},m_{b},m_{c}$ $BC,CA,AB$ талд буулгасан медианы урт $l_{a},l_{b},l_{c}$ $BC,CA,AB$ талд буулгасан биссектрисийн урт $O$ $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв $R$ $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв $I$ $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв

Гурвалжин

1. Медиан Тодорхойлолт 1. Гурвалжны оройг эсрэг орших талын дундаж цэгтэй холбосон хэрчмийг уул оройн медиан гэнэ.

Чанар:

Гурвалжны гурван медиан нэг цэгт огтололцох ба энэ цэгээр медиан бүхэн оройгоос тооцоход 2:1 харьцаагаар хуваагдана. Медиануудын огтололцсон цэгийг гурвалжны хүндийн төв гэнэ.
Медианууд гурвалжныг тэнцүү талбайтай 6 хэсэгт хуваана.
$ABC$ гурвалжны хувьд $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ тэнцлийг хангах цэг цор ганц байна.
$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}=\frac{4}{9}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})$
Гурвалжны медианы томьëо: $m_{a}^{2}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}$ , $m_{b}^{2}=\frac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}$ , $m_{c}^{2}=\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}$ байна.

Баталгаа-1:/Косинусын теорем ашиглах/ $b^{2}=\frac{a^{2}}{4}+m_{a}^{2}-2\cdot \frac{a}{2}\cdot m_{a}\cdot \cos \alpha,$ $c^{2}=\frac{a^{2}}{4}+m_{a}^{2}-2\cdot \frac{a}{2}\cdot m_{a}\cdot \cos (180^{0}-\alpha)$ гэдгээс $b^{2}+c^{2}=\frac{a^{2}}{4}+2m_{a}^{2}\Rightarrow m_{a}^{2}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}$ байна. бусад томьеонуудыг үүний адилаар батлаж болно. Баталгаа-2: /Параллелограммын чанар ашиглах/

$b^{2}+c^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{2}+4m_{a}^{2}\Rightarrow m_{a}^{2}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}$ 2. Өндөр Тодорхойлолт: Гурвалжны оройгоос эсрэг талыг агуулсан шулуунд буулгасан перпендикулярыг өндөр гэнэ. 1. Хурц өнцөгт гурвалжны хувьд

2. Мохоо өнцөгт гурвалжны хувьд

Чанар:

Гурвалжны гурван өндөр нэг цэгт огтлолцоно. Өндрүүдийн огтлолцлын цэгийн ортоцентр гэнэ.
Гурвалжны өндрүүдийг гурван талаар нь бодох томъео $h_{a}=\sqrt{b^{2}-(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a})^2},h_{b}=\sqrt{c^{2}-(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2b})^2},h_{c}=\sqrt{a^{2}-(\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2c})^2}$ Баталгаа:

Тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр, түүний чанарууд

$a^{2}=a_{c}\cdot c$
$b^{2}=b_{c}\cdot c$
$h_{c}^{2}=a_{c}\cdot b_{c}$
$S_{ABC}=\frac{1}{2}a\cdot b$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}$ (Пифагорын теорем)

Гурвалжны өндрийн бусад чанарууд 3. Биссектрисс, түүний чанарууд Тодорхойлолт: Өнцгийн оройг дайрсан уг өнцгөө хоëр тэнцүү хуваадаг шулууныг өнцгийн биссектрис гэнэ. Тодорхойлолт: Гурвалжны өнцгийн биссектрисээс эсрэг орших талаар таслагдсан хэрчмийг гурвалжны биссектрисс гэнэ.

Чанар:

Гурвалжны биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг нь гурвалжинд багтсан тойргийн төв болно.
Гурвалжны биссектрисүүд нэг цэгт огтлолцоно.
$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC};\frac{BC}{AC}=\frac{BF}{AF};\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}$
$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{AB}{AC};\frac{S_{ABE}}{S_{BCE}}=\frac{AB}{BC};\frac{S_{ACF}}{S_{BCF}}=\frac{AC}{BC}$
Биссектрисийг хоëр тал ба хоорондох өнцгөөр олох томъëо $l_{c}=\frac{2ab\cos \frac{\gamma }{2}}{a+b},l_{b}=\frac{2ac\cos \frac{\beta }{2}}{a+c},l_{a}=\frac{2bc\cos \frac{\alpha }{2}}{b+c}$ Баталгаа:
Биссектрисийг гурвалжны талаар нь бодох томъëо $l_{a}=\sqrt{bc-\frac{a^{2}bc}{(b+c)^{2}}};l_{b}=\sqrt{ac-\frac{ab^{2}c}{(a+c)^{2}}};l_{c}=\sqrt{ab-\frac{abc^{2}}{(a+b)^{2}}}$ Баталгаа:
ABC гурвалжны гадаад өнцөг CBF-ийн биссектрис BD нь эсрэг тал AC-ийн үргэлжлэлийг ямар нэг D цэгт огтлоход, мөн цэгээс уул талын үзүүрүүд хүртлэх зай нь уг гурвалжны налсан талуудад пропорциональ байна. Өөр-өөр хэлбэл: $\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{BC}$ байна.

4. Гурвалжны талбай

Гурвалжны элементүүд

Гурвалжин

Шинэ материалууд

Материалуудыг судлах

Судлах сэдвүүд