Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
Bereits in Babylonien kannte man ein Verfahren zur näherungsweisen Berechnung einer Wurzel.
Iterationsformel
Geometrische Interpretation
Gesucht ist die Seitenlänge eines Quadrats, das den Flächeninhalt A besitzt.
Ausgehend von einem Rechteck der Breite x1 wird die Länge mit berechnet. Eine der beiden Seitenlänge ist zu kurz, die andere zu lang. Deshalb wird der Mittelwert von beiden gebildet und mit diesem als erstem Näherungswert die Iteration weitergeführt.
Auf diese Art entsteht eine Folge von Rechtecken, die sich immer mehr einem Quadrat mit der gesuchten Seitenlänge annähert.
Aufgabe
Verändere den Startwert x1 der Iteration.
Gib im Eingabefeld einen anderen Wert für A ein und bestimme näherungsweise die Wurzel aus A.
Weitere Ausführungen zum Heron'schen Wurzelziehen
Web-Diagramm
Eine alternative Darstellungsform ist die Veranschaulichung der Iteration als Web-Diagramm oder Web-Plot.
Aufgabe
Verändere den Startwert x1 für die Berechnung der Wurzel aus A = 12.
Gib im Eingabefeld einen anderen Wert für A ein und bestimme näherungsweise die Wurzel aus A.
Monotonie des Verfahrens
Im folgenden Applet sieht man , dass die Folge der Längen der Rechtecke monoton fallend und die Folge der Breiten der Rechtecke monoton steigend ist (abgesehen vom ersten Folgenglied) .