Volumen einer Schachtel
Aufgabe 1
Ein Beispiel für eine Abhängigkeit zwischen geometrischen Größen entsteht beim Basteln einer Schachtel.
Aufgabe: Aus einem quadratischen Stück Papier (Seitenlänge 6) soll eine Schachtel hergestellt werden. Dazu werden bei den Ecken vier kleinere (gleich große) Quadrate herausgeschnitten und das verbleibende Stück Pappe zu einer Schachtel (ohne Deckel) aufgeklappt. Betrachte dazu die Flash-Animation unter folgendem Link:
http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/funktionen/einstieg/content/SchachtelbeispielFlash/index.html
Wir werden uns in den nächsten Lernschritten damit beschäftigen, wie die Schachtel dimensioniert werden muss, damit ihr Volumen möglichst groß ist. Dazu fragen wir zunächst, wie groß ihr Volumen überhaupt ist! Das hängt natürlich davon ab, wie groß die Quadrate sind, die zunächst herausgeschnitten wurden.
- Berechne das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate 1 beträgt!
- Berechne das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate 2 beträgt!
- Ermittle eine Formel für das Volumen der Schachtel, wenn die Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate (wie in der Animation) mit x bezeichnet wird!
Aufgabe 2
Die Abhängigkeit einer reellen Größe von einer anderen kann in Form einer Tabelle dargestellt werden. Allerdings können wir nicht alle reellen Zahlen aufzählen und müssen uns daher auf einzelne ausgewählte Werte beschränken. Dementsprechend können aus einer Abhängigkeit verschiedene Tabellen (die sich z.B. durch die Schrittweite unterscheiden) gewonnen werden.
Aufgabe: In der vorhergehenden Aufgabe wurde das Volumen der Schachtel in Abhängigkeit von x, der Seitenlänge der herausgeschnittenen Quadrate, berechnet. Was nützt uns eine solche Formel? Wir können die durch sie beschriebene Abhängigkeit auf verschiedene Weisen darstellen. Eine Darstellungsform ist die Wertetabelle, d.h. eine Auflistung von ausgewählten Werten von x mit den zugehörigen Werten von V(x). Eine einfache Wertetabelle sieht so aus:
Sie besagt: Haben die herausgeschnittenen Quadrate die Seitenlänge 1, so ist das Volumen der Schachtel 16. Haben die herausgeschnittenen Quadrate die Seitenlänge 2, so ist das Volumen der Schachtel 8.
Wir wollen es aber jetzt genauer wissen!
Erstelle aus der Formel V(x) = (6 - 2x)2x für das Schachtelvolumen eine Wertetabelle für Werte von x zwischen 0 und 3 mit einer Schrittweite von 0.3 mit Hilfe der Tabellenkalkulation von GeoGebra. (Dies sollte dir aus dem Handybeispiel bereits bekannt sein)
Speichere die Datei unter schachtel_DeinNachname.ggb
| Überprüfe die Zahlen! |
Aufgabe 3
Wenn du die Tabelle fertiggestellt hast, betrachte die in ihnen stehenden Zahlen. Beantworte die folgenden Fragen: