Was f über f'' verrät
In der Grafik sind die Funktion f(x)=x3-2x2+2 und die Tangente ga im Punkt P(a|f(a)) dargestellt.
- ga steigt in den Intervallen I1=]-;0 [ und I3=][ und fällt im Intervall I2=I4+I5=]0; [ streng monoton. (Mache dir das klar!)
- d.h. die Steigung der Tangente ga ist für a, die im Intervall I1 oder I3 liegen positiv und für a, die im Intervall I2 liegen negativ. (Mache dir das klar!)
1. Aufgabe
- Betrachte die Veränderung der Steigung ma von ga innerhalb des Intervall I1: Sie ist zwar durchgängig positiv, aber wird ma mit größer werdenden a steiler, oder flacher?
- Betrachte die Veränderung der Steigung ma von ga innerhalb des Intervall I2=I4+I5: Sie ist zwar durchgängig negativ, aber wird ma mit größer werdenden a steiler, oder flacher? Wo ändert sich die Tendenz?
- Betrachte die Veränderung der Steigung ma von ga innerhalb des Intervall I3: Sie ist zwar durchgängig positiv, aber wird ma mit größer werdenden a steiler, oder flacher?
- Bleibt die Steigung auf einem Intervall konstant - also ist die Zunahme immer gleich - verläuft der Graph von f linear: Lineare Funktionen haben überall die gleiche Steigung!
- Wird die Steigung einer Funktion innerhalb eines Intervalls steiler (also größer), so ist der Graph dort linksgekrümmt: Siehe Intervall I3!
- Wird die Steigung einer Funktion innerhalb eines Intervalls flacher (also kleiner), so ist der Graph dort rechtsgekrümmt: Siehe Intervall I1!
- Bleibt die Steigung auf einem Intervall konstant - also ist die Zunahme immer gleich - verläuft der Graph von f linear: Lineare Funktionen haben überall die gleiche Steigung!
- Wird die Steigung einer Funktion innerhalb eines Intervalls steiler (also kleiner), so ist der Graph dort rechtsgekrümmt: Siehe Intervall I4=]0;[
- Wird die Steigung einer Funktion innerhalb eines Intervalls flacher (also größer), so ist der Graph dort linksgekrümmt: Siehe Intervall I5! Siehe Intervall ];[
- Nimmt die Steigung also innerhalb eines Intervalls zu, nehmen auch die Funktionswerte von f' in diesem Intervall zu: Die Ableitungsfunktion f' steigt also in diesem Intervall!
- Nimmt die Steigung also innerhalb eines Intervalls ab, nehmen auch die Funktionswerte von f' in diesem Intervall ab: Die Ableitungsfunktion f' fällt also in diesem Intervall!
- Wenn f' in einem Intervall streng monoton wachsend ist, dann ist der Graph von f dort linksgekrümmt. (Wenn f' monoton wächst, gilt dort: f''>0!)
- Wenn f' in einem Intervall streng monoton fallend ist, dann ist der Graph von f dort rechtsgekrümmt. (Wenn f' monoton fällt, gilt dort: f''<0!)