Exponentialfunktionen 5
- Wir betrachten Exponentialfunktionen mit und bilden den Differenzenquotienten .
- Es zeigt sich, dass zu proportional ist: mit dem konstanten Faktor .
- Numerische Untersuchungen lassen vermuten, dass der Grenzwert für alle reellen Zahlen existiert. Dies setzen wir im folgenden zunächst ohne Beweis als gegeben voraus.
- Damit ist f differenzierbar und an jeder Stelle gilt .
- Die Besonderheit: und sind zueinander proportional. Kennt man die Ableitung an einer Stelle, dann kennt man sie auch an jeder anderen.
Aufgabe 1
Sei f eine Exponentialfunktion mit dem Anfangswert C und der Basis a > 0 und sei ihre Wachstumskonstante. Welche der folgenden Aussagen sind wahr:
Aufgabe 2
Sei f eine Exponentialfunktion mit dem Anfangswert C und der Basis a > 0. Sei ihre Wachstumskonstante. a) Betrachten Sie für eine beliebige Stelle x die vier Zahlen f(x), f'(x), f(x+1) und f'(x+1). Stellen Sie in einem Diagramm dar, in welcher Beziehung diese vier Zahlen zueinander stehen.
b) Bestimmen Sie das Vorzeichen von k in Abhängigkeit von a.
c) Zeigen Sie: .
d) Zeigen Sie für a ≠ 1: Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 0 hat bei x = -1/k eine Nullstelle.
e) Zeigen Sie, dass durch F(x) = (1/k) · f(x) eine Stammfunktion F von f gegeben ist. Folgern Sie daraus: und interpretieren Sie diesen Quotienten analog zu Aufgabe 2c) des Arbeitsblattes "Exponentialfunktionen 3".
Aufgabe 3
a) Lesen Sie die Nullstelle der Tangente möglichst genau ab, bestimmen Sie daraus k und geben Sie den Wert in Zelle B2 der Tabelle ein. Tipp: Sie können den Graphen in einer Umgebung der Nullstelle stark zoomen. In die Tabelle kann man einen Rechenausdruck für k eingeben, der den abgelesenen Wert enthält.
b) Machen Sie den Zoom wieder rückgängig. Verändern Sie a und beobachten Sie die Auswirkungen. Setzen Sie nun a auf den Wert 4 und wiederholen Sie Teil a). Tipp: Mit einem Links- und anschließenden Rechtsklick auf den Hintergrund des Diagramms können Sie den Befehl "Standard-Ansicht" aufrufen, um den Zoom schnell rückgängig zu machen. Statt den Schieberegler zu benutzen, können Sie auch "a =4" in die Eingabezeile eingeben.
c) Wiederholen Sie den Vorgang für alle Werte von a, die in der ersten Spalte der Tabelle aufgelistet sind. Tragen Sie die zugehörigen Wachstumskonstanten in die zweite Spalte der Tabelle ein. Erkennen Sie einen Zusammenhang zwischen a und k? Klicken Sie auf den nächsten Button "Antworten überprüfen", um einen Tipp anzuzeigen. Klicken Sie auf den übernächsten Button "Antworten überprüfen", um die Antwort anzuzeigen.
Klicken Sie hier auf "Antworten überprüfen", um die Antwort für c) zu überprüfen.
d) Formulieren Sie als Vermutung auf der Grundlage der Beobachtung von c) eine allgemeine Regel, wie sich für einen beliebigen Exponenten b ∈ die Wachstumskonstante zur Basis ab aus der Wachstumskonstanten zur Basis a berechnen lässt. Welche Konsequenz hat das für die Berechnung der Wachstumskonstanten zu einer beliebigen Basis a'?
e) Beweisen Sie die Regel (oder sehen Sie sich den Beweis genau an). Tipp: Benutzen Sie bei der Bildung des Grenzwerts für h → 0 die Substitution h' = b · h.