2. Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen
Man kann Funktionsgraphen nicht nur in beide Richtungen verschieben, man kann sie auch Strecken beziehungsweise Stauchen.
Stell dir vor...
... du zeichnest eine Funktion f auf ein elastischen Bettlaken.
Strecken: Ziehst du an den Seiten des Lakens wird der Graph in y- bzw. x-Richtung gestreckt.
Stauchen: Schiebst du den Stoff von den Seiten her zusammen (mathematisch ideal ohne Falten), wird der Graph in x- bzw. in y-Richtung gestaucht.
Trotzdem spricht oft generell einfach von Streckung und dem Streckungsfaktor. Ob es dann tatsächlich gestaucht oder gestreckt wird, musst du vom Streckungsfaktor ablesen.
Auftrag:
Arbeite dich durch diese GeoGebra-Seite und untersuche die Streckung in x- und y-Richtung.
Multiplikation der gesamten Funktion
In diesem Applet wird der gesamte Funktionsterm mit dem Streckungsfaktor k multipliziert, also:
1. Gib an in welche Richtung gestreckt/gestaucht wird.
2. Untersuche für welche k gestreckt und für welche gestaucht wird.
3. Beachte auch, was mit den Nullstellen geschieht.
Tipp: Stell dir wieder vor, du würdest den Graphen auf ein Bettlaken zeichnen. An welcher Seite des Lakens stehst du? Für welche k ziehst du an? Für welche k schiebst du zusammen?
Lösung
Division der Variable
In diesem Applet wird der Variable durch k dividiert, also:
1. Gib an in welche Richtung gestreckt/gestaucht wird.
2. Untersuche für welche k gestreckt und für welche gestaucht wird.
3. Beachte auch, was mit den Nullstellen geschieht.
Tipp: Stell dir wieder vor, du würdest den Graphen auf ein Bettlaken zeichnen. An welcher Seite des Lakens stehst du? Für welche k ziehst du an? Für welche k schiebst du zusammen?
Lösung
Bis jetzt haben wir nur positive k betrachtet. Negative k verändern den Graphen zusätzlich auf eine ganz bestimmte Weise.
Wir betrachten dafür nun zunächst nur.
Untersuche in folgendem Applet wie sich der Funktionsgraph beim Multiplizieren bzw. Dividieren mit (-1) verändert.
Multiplizieren mit (-1)
Beschreibe in Worten was geschieht.
Dividieren durch (-1)
Beschreibe in Worten was geschieht.
Erklärvideo
Vorsicht!
Im Erlärvideo ist dir bestimmt ein Unterschied aufgefallen. Oft wird die Streckung in x-Richtung auch so definiert:
dann wird der Graph von f um den Faktor gestreckt. Das bedeutet also bei wird der Graph auf de Hälfte gestaucht. Man muss hier also leicht umdenken.
Unsere Definition funktioniert genauso:
Will ich auf die Hälfte stauchen, teile ich also durch . Das Ergebnis ist dasselbe, denn . (Wenn ich durch einen Bruch teile, multipliziere ich mit dem Kehrbruch.)
Welche Denkweise dir mehr liegt, kannst du selbst entscheiden.
Übung:
Natürlich kann man das auch alles zusammen werfen.
Im folgenden Applet gilt:
Gib für a und b jeweils passende Werte ein. Bestätige deine Eingabe jeweils mit Enter oder tippe am iPad auf den Bildschirm außerhalb des Eingabefeldes.
Spiegle an x- und y-Achse
Spiegle an y-Achse und strecke um den Faktor 2 in y-Richtung
Spiegle an x-Achse und strecke in beide Richtungen auf das Doppelte
Arbeite dich nun noch durch folgendes Arbeitsblatt.
