Fazit und Ausblick
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Möbius-Werkzeuge circle-tools (April 2019)
Die Geometrie der Kreise - speziell die Geometrie der klassischen reellen Möbius-Ebene (wikipedia) - bietet einen bunten Strauß interessanter Beziehungen und Probleme, die schon die Geometer und Tüftler des Altertums beschäftigten. Wir nennen exemplarisch das Problem des APOLLONIOS von PERGE:- konstruiere alle Kreise, die 3 vorgegebene Kreise berühren!
gebra stellt einige Werkzeuge zum Experimentieren mit Kreisen zur Verfügung: 
.
Wir haben auf den vorangegangenen Seiten eine Reihe weiterer benutzerdefinierte Werkzeuge vorgestellt. Dabei kam uns oft die Unterscheidung von Kreis und Gerade in die Quere: möbiusgeometrisch ist eine Gerade nur ein Kreis, der zufällig durch geht!
Die Schwierigkeiten ergeben sich daraus, dass in ge
gebra die Hilfsmittel zum Experimentieren mit Kreisen Zirkel und Lineal, also die Hilfsmittel der Ebene sind.
Würde man auf der Kugel experimentieren, so gäbe es den Unterschied zwischen Kreis und Gerade nicht: ein Kreis ist der Schnitt der Kugel mit einer Ebene! Geraden hätte man nur zu berücksichtigen, wenn man die Kreise durch einen besonders hervorgehobenen Punkt - z.B. - extra auszeichnet: als GERADEN.
Wir meinen, es lohnt sich, sich mit Kreisfragen zu beschäftigen: die euklidische Ebene, die elliptische Ebene und die hyperbolische Ebene sind nur Untergeometrien der klassischen reellen Möbius-Ebene.
Beim Versuch, geometrische Sachverhalte darzustellen und zu beweisen, leitet uns der vielleicht manchmal illusionäre Traum, dass sich schöne geometrische Figuren und Beziehungen auch mit schön einfachen Berechnungsmethoden nachweisen lassen sollten.
Dass dies nicht unbedingt eine Illusion ist, zeigt das sehr erfreuliche Buch "Geometrie-Kalküle" von J. Richter-Gebert und Th. Orendt. Eine zentrale Rolle bei einfachen Berechnungen spielen dabei die auf PLÜCKER und GRASSMANN zurückgehenden Rechenmethoden mit Hilfe der Determinanten und Unterdeterminanten.
Wie rechnet man sinnvoll mit Kreisen?
Mit kartesischen Koordinaten ergeben sich die oben beschriebenen Unterscheidungsprobleme Kreis - Gerade.
Mit den komplexen Koordinaten der GAUSSschen Zahlenebene wird manches leichter: Division durch 0 ist plötzlich bei gebrochen-rationalen Transformationen erlaubt! Die Punkte der Möbius-Ebene sind hier die Punkte einer komplexen projektiven Geraden.
In gegebra bleibt weiterhin der (fundamentale?) Unterschied zwischen 
und .
Wir greifen einen möbius-geometrischen Sachverhalt heraus:
- Zu 4 verschiedenen Punkten gibt es 4 paarweise orthogonale Kreise, mit denen sich die Lage der Punkte möbius-geometrisch eindeutig charakterisieren lassen.
Wir projizieren die Punkte auf eine nichtausgeartete Quadrik in der komplexen Ebene. Zugrunde liegt dann ein 3-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Es handelt sich einfach um die komplexe Version des euklidischen Vektorraums, welcher längst zum vertrauten Schulstoff gehört. Gleichsinnige Möbius-Transformationen sind die komplex-linearen Abbildungen, welche die symmetrische Bilinearform invariant lassen.
Die Gruppe der gleichsinnigen Möbius-Transformationen ist isomorph zu , wie zu (LORENTZ-Gruppe), aber eben auch zu .
Es mag zunächst scheinen, als wäre die geometrische Deutung der Objekte in dieser komplexen Modellierung schwieriger.
Das konkrete Übertragungsprinzip wird auf der nächsten book-Seite vorgestellt.
Denkt man sich die Punkte stereographisch auf die RIEMANNsche Zahlenkugel projiziert, so kann man sich die isotropen Vektoren , hier abgekürzt als dargestellt, als Berührgeraden, bzw. Tangentialvektoren an die Kugel vorstellen.
Die komplexe Multiplikation ist dann einfach die Drehung der Tangente, bzw. des Tangentialvektors um .
Das komplexe Kreuzprodukt , hier aus guten Gründen mit den LIE-Klammern dargestellt, repräsentiert die Verbindungsgerade der 2 Punkte auf der RIEMANNschen Zahlenkugel; repräsentiert die polare Gerade.
Der komplexe Vektorraum ist mit der quadratischen Form und dem Kreuz-Produkt, sprich LIE-Produkt die LIE-Algebra der Möbius-Gruppe.
Zur Lage von 4 verschiedenen Punkten : Man kann sie auf 3 Weisen paarweise verbinden:
gebra mit komplexen Vektoren zu rechnen, sind vor geraumer Zeit kläglich gescheitert. Ob sich in dieser Hinsicht etwas geändert hat, haben wir bisher nicht geprüft.
In der von J. Gebert-Richter und U. H. Kortenkamp entwickelten und inzwischen nicht mehr gepflegten Software Cinderella war das Rechnen mit komplexen Vektoren problemlos möglich. Dafür waren 3D-Darstellungen nur schwer möglich.
Wir vermuten, dass komplexe Vektorrechnung und reelle analythische Geometrie sich gegenseitig in die Quere kommen und behindern.
Bemerkungen zur LIE-Algebra der Möbius-Gruppe:
Die komplexen Vektoren aus können gedeutet werden als Infinitesimale Erzeugende von Einparametrigen Untergruppen der Möbius-Gruppe:
Die lineare Abbildungen erzeugen
die Einparameter Gruppen , reell: , oder komplex: .
Für reelles sind die Bahnkurven dieser Bewegungsgruppen
- paarweise orthogonal und es gilt beispielsweise ...
gebra mit komplexen Vektoren zu rechnen, sind vor geraumer Zeit kläglich gescheitert. Ob sich in dieser Hinsicht etwas geändert hat, haben wir bisher nicht geprüft.
In der von J. Gebert-Richter und U. H. Kortenkamp entwickelten und inzwischen nicht mehr gepflegten Software Cinderella war das Rechnen mit komplexen Vektoren problemlos möglich. Dafür waren 3D-Darstellungen nur schwer möglich.
Wir vermuten, dass komplexe Vektorrechnung und reelle analythische Geometrie sich gegenseitig in die Quere kommen und behindern.
Bemerkungen zur LIE-Algebra der Möbius-Gruppe:
Die komplexen Vektoren aus können gedeutet werden als Infinitesimale Erzeugende von Einparametrigen Untergruppen der Möbius-Gruppe:
Die lineare Abbildungen erzeugen
die Einparameter Gruppen , reell: , oder komplex: .
Für reelles sind die Bahnkurven dieser Bewegungsgruppen
- die Kreise des zugehörigen elliptischen Kreisbüschels durch die Grundpunkte, wenn eine Schnittgerade repräsentiert, die Kreise des Büschels schneiden sich in den Grundpunkten.
- die Kreise des zugehörigen hyperbolischen Kreisbüschels, wenn eine Gerade repräsentiert, welche die Zahlenkugel nicht schneidet, die Kreise des Büschels schneiden sich nicht.
- die Kreise des zugehörigen parabolischen Kreisbüschels, wenn eine Berührgerade ist.
- Ist eine Schnittgerade, so erzeugt die Infinitesimale Erzeugende als Bahnkurven Kurven, welche das elliptische Kreisbüschel unter dem Winkel schneiden. Wir nennen diese Kurven Loxodrome, auch wenn die Windungspunkte nicht diametral auf der Zahlenkugel liegen.