Globalverhalten ganzrationaler Funktionen und deren qualitativer Verlauf
Um sich ein Bild einer ganzrationalen Funktion machen zu können, betrachtet man das Globalverhalten. Darunter versteht man die Beantwortung der beiden folgenden Fragen:
- Woher kommt die Funktion (von links unten oder von links oben)?
- Wohin verläuft die Funktion (nach rechts unten oder rechts oben)?
Globalverhalten und qualitativer Verlauf ganzrationaler Funktionen zweiten Grades
Nachfolgend ist der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades in seiner Grundform dargestellt. Die Koeffizienten können mit Hilfe der Schieberegler verändert werden, um so unterschiedliche Graphen ganzrationaler Funktionen zweiten Grades zu untersuchen.
- Finden Sie eine allgemeine Gesetzmäßigkeit für das Globalverhalten, d.h. finden Sie die passende Ergänzung für die folgenden vier Sätze, indem Sie mit Hilfe der Schieberegler die Werte der Koeffizienten verändern.
- Untersuchen Sie den qualitativen Verlauf der Graphen und beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen, wenn in der Funktionsvorschrift die Werte der Koeffizienten verändert werden.
Globalverhalten und qualitativer Verlauf ganzrationaler Funktionen dritten, vierten und fünften Grades
Die Betrachtung des Globalverhaltens ist auch für ganzrationale Funktionen höheren Grades möglich. Exemplarisch werden im folgenden ganzrationale Funktionen bis zum Grad 5 untersucht, um anschließend eine allgemeingültige Regel zu formulieren.
Die folgenden Applets zeigen nacheinander jeweils die Graphen eine ganzrationalen Funktion vom Grad 3, 4 und 5 jeweils in der Grundform (bzw. , ). Die Werte der Koeffizienten können mit Hilfe der Schieberegler verändert werden, um so unterschiedliche Graphen ganzrationaler Funktionen n-ten Grades zu untersuchen.
- Finden Sie eine allgemeine Gesetzmäßigkeit für das Globalverhalten, d.h. finden Sie die passende Ergänzung für die folgenden vier Sätze, indem Sie die Werte der Koeffizienten verändern.
- Untersuchen Sie den qualitativen Verlauf der Graphen und beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede, wenn in der Funktionsvorschrift die Werte der Koeffizienten verändert werden.
Der Graph einer ganzrationalen Funtion dritten Grades
Der Graph einer ganzrationalen Funtion vierten Grades
Der Graph einer ganzrationalen Funtion fünften Grades
Globalverhalten und qualitativer Verlauf einer Funktion vom Grad n
Formulieren Sie abschließend eine allgemeine Aussage zum Globalverhalten ganzrationaler Funktionen, indem Sie folgende Sätze vervollständigen:
- Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad n verläuft von links unten nach rechts unten, wenn...
- Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad n verläuft von links unten nach rechts oben, wenn...
- Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad n verläuft von links oben nach rechts unten, wenn...
- Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad n verläuft von links oben nach rechts oben, wenn...
- Der Graph einer ganzrationalen Funktion mit geradem Grad besitzt qualitativ folgendes Aussehen:
- Der Graph einer ganzrationalen Funktion mit ungeradem Grad verläuft qualitativ folgendes Aussehen: