Die Kettenregel
Innere mal äußere Ableitung
"Innere mal äußere Ableitung" ist der Spruch, den man sich für die Kettenregel merken muss.
Was heißt das?
Gegeben sind eine äußere Funktion und eine innere Funktion . Dann lautet die verkettete Funktion . In manchen Büchern findet man für verkettete Funktionen auch die Schreibweise . Dann lautet die Ableitungsfunktion:
"Kurzfassung":
Oder mit der Abhängigkeit von :
Achten Sie darauf, dass das Argument in den Klammern der äußeren Ableitung die innere Funktion ist, und nicht deren Ableitungsfunktion.
Anleitung zur Anwendung der Kettenregel
Ein Beispiel: Gegeben sind und
Dann lautet die verkettete Funktion:
- Der erste Schritt ist, so eine Verkettung zu erkennen. Das heißt das Erkennen der äußeren und der inneren Funktion und die Schlussfolgerung: "Hier kann ich die Kettenregel anwenden"
- Wenn die äußere Funktion und die innere Funktion identifiziert sind, dann müssen alle "Bausteine" zusammengesucht werden: Berechnen Sie die Ableitungsfunktionen von und :
- Um sich daran zu erinnern, dass in die Funktion für das die innere Funktion eingesetzt werden soll, kann man auch gleich als schreiben:
- und damit:
- und
- Nun gilt es, diese Bausteine nach dem Rezept zusammenzusetzen: Hier ist die gesucht Ableitungsfunktion bereits vollständig gelöst und richtig. In der Regel empfiehlt es sich allerdings noch, dien Term möglichst zu vereinfachen.
- Das Vereinfachen dieses komplizierten Terms ist wohl der mühsamste Schritt. Das ist hier als "Fingerübung" empfohlen. Hier soll nur das Ergebnis angegeben werden: