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Hélice tubular

Si observamos una cuerda enroscada en un tubo, podemos identificar que tiene forma de hélice.
  • Matemáticamente, podemos modelizarla como una curva, que da vueltas alrededor de un cilindro (radio constante).
  • Pero, también podemos pensar en el grosor de la cuerda, y hacer el modelo como un "tubo" con forma de hélice, obteniendo una hélice tubular.
  • Básicamente, se trata de la superficie generada por una circunferencia de radio constante, que se mueve a lo largo de una hélice. La particularidad es que, en cada punto, el plano en que se encuentra la circunferencia siempre es perpendicular a nuestra hélice.
Veamos cómo resultaría el modelo matemático, y después cómo deducir sus ecuaciones paramétricas.
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Modelizado matemático de una hélice tubular

Instrucciones

Pulsando el botón "opciones", podemos elegir qué visualizar en este modelo:
  • Los puntos sobre la línea central nos permiten elegir en qué partes de este eje se extenderá la superficie.
  • El punto azul que tiene alrededor una circunferencia, el radio del cilindro.
  • El punto sobre esa circunferencia, el radio del tubo correspondiente a la hélice.
  • El otro punto, el paso, o distancia que habrá entre cada vuelta.
Además, tenemos otras opciones de visualicación:
  • ver el tubo o la propia hélice,
  • marcar algunas curvas sobre la superficie,
  • mostrar un punto que nos permita elegir qué sección circular ver.
  • Pulsando sobre el punto, activaremos/desactivaremos su animación automática.

Obteniendo la hélice

El punto de partida será la ecuación de la hélice.
  • Por simplicidad, el eje del cilindro será, por ejemplo, el eje "x".
  • La hélice debe ir describiendo circunferencias de cierto radio R alrededor del cilindro, a la vez que avanza en la dirección de este eje.
  • Habitualmente, la parametrización de una circunferencia de radio R en el plano es . En este caso, para dejar la coordenada libre para el eje, escribiremos la componente del coseno en la coordenada z.
  • La hélice completa una vuelta cada , así que, para que "avance" una cierta cantidad en el eje "x" en cada vuelta, la componente x debe ser . Por comodidad, denotamos .
  • Así pues, la podemos parametrizar como

    .

Obteniendo una base del plano ortogonal en cada punto

Una vez que tenemos la ecuación de la hélice, la superficie se calcula trazando una circunferencia perpendicular a la hélice en cada punto. Para encontrar el plano perpendicular en cada punto, necesitamos el vector tangente a la hélice, que se obtiene derivando su ecuación respecto su parámetro:

La longitud de este vector es . Notar que es de longitud constante y, en consecuencia:
  • la longitud de cada tramo es proporcional a la longitud recorrida en el parámetro , con lo que tenemos "casi" la parametrización natural de la hélice (en la que la distancia recorrida es precisamente la longitud recorrida en el parámetro).
  • En general, el uso de la parametrización natural (o una proporcional) simplifica mucho el cálculo de la base para el plano ortogonal.
  • Por ejemplo, el primer vector de la base puede obtenerse normalizando la derivada del vector tangente (dividiendo por su módulo).
El siguiente paso es obtener una base ortonormal del plano tangente, que usaremos para trazar las circunferencias.
    • La forma habitual de obtenerlo es mediante el Triedro de Frênet. En este applet podemos ver su construcción y visualizarlo para una curva cualquiera.
    • Un primer paso es derivar el vector tangente y el vector resultante para obtener uno unitario ortogonal al propio . Después, usando el producto vectorial, obtener el otro vector ortogonal , con el que tendremos la base del plano tangente.
    • . Dividiendo por , obtenemos el vector unitario

      .

      (*) Es sencillo comprobar que, en este caso, es ortogonal a . Como hemos dicho, se debe al tipo de parametrización usada. Esto nos ahorrará un paso, pues de no haberlo sido, tendríamos que haber obtenido este segundo vector a través del vectorial con , y luego calcular otra vez el producto vectorial, obtenidendo así el tecer vector.
    Por último, para obtener el otro vector ortogonal, podemos utilizar la fórmula simplificada para la parametrización natural o, simplemente, calcularlo a través del producto vectorial de y .

    Ecuaciones paramétricas de la hélice tubular

    Una vez tenemos los vectores, bastará ir circunferencias de cierto radio en cada punto de la hélice, utilizando un nuevo parámetro y una parametrización del tipo . Por tanto, la ecuación de la superficie será

    ,

    que, en coordenadas paramétricas resultará: