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Exponentialfunktionen 4

Autor:H.-J. Feldhoff
Fassen wir zunächst ein paar Ergebnisse aus den bisherigen Arbeitsblättern zusammen: Der zeitliche Verlauf eines Bestands an radioaktivem Jod-131 lässt sich durch eine Funktion der Form f(x) = C · ax beschreiben, wobei f(0) = C · a0 = C der Anfangsbestand zur Zeit x = 0 und a der Änderungsfaktor pro Zeiteinheit ist. Misst man die Zeit x in Tagen, dann ist a = 0,917; wählt man als Zeiteinheit 8 Tage (die Halbwertszeit von Jod-131) , dann ist a = 0,5, da 0,9178 ≈ 0,5 ist; nimmt man als Zeiteinheit eine Stunde, dann ist a = 0,917(1/24) ≈ 0,9964. Eine Funktion der Form f(x) = C · ax wird in der Mathematik bezeichnet als Exponentialfunktion zur Basis a mit dem Anfangswert C. Dabei wird vorausgesetzt, dass a > 0 ist. Die Zahl C kann mathematisch beliebig sein, jedoch ist es bei einer Interpretation von f(x) als Maßzahl für einen Bestand sinnvoll, C > 0 vorauszusetzen. In diesem Fall beschreibt die Funktion für a > 1 einen exponentiellen Wachstumsprozess, und für a < 1 einen exponentiellen Zerfalls- oder Abnahmeprozess. Der Fall a = 1 liefert den konstanten Wert f(x) = C. Am Beispiel der Zahlenwerte von Jod-131 haben wir exemplarisch festgestellt: Bildet man für jeden Zeitpunkt x die durchschnittliche Änderungsgeschwindigkeit im Zeitintervall [x, x+h], wobei h fest vorgegeben ist, so sind die Größen mh(x) und f(x) zueinander proportional, d.h. mh(x) = kh · f(x) mit einer Konstanten kh. Der Wert dieser Konstanten ließ sich (im Falle von Jod-131 mit a = 0,917) bestimmen zu . Im folgenden Applet sehen Sie diese Sachverhalte noch einmal für die Werte C = 100, a = 0,917 und h = 4 dargestellt. In blau sehen Sie einen Ausschnitt des Graphen von f und in rot eine Sekante durch die Punkte P (x | f(x)) und Q (x+h | f(x+h)). Es soll untersucht werden was passiert, wenn h gegen 0 geht. Sie können dabei den Punkt P bewegen und den Ausschnitt des Graphen verschieben und zoomen.

Aufgabe 1

1. Bewegen Sie P entlang der blauen Kurve und beobachten Sie, welche Größen sich ändern und welche konstant sind. 2. Setzen Sie den Schieber für h zunächst auf 1 und dann auf 0,5 und beobachten Sie die Auswirkungen. Vergleichen Sie die angezeigten Werte mit denen aus Arbeitsblatt 3. Tipp: Wenn Sie P anklicken und dann die Pfeiltasten der Tastatur benutzen, bewegt sich P mit der Schrittweite 1 nach rechts oder links. 3. Gehen Sie nun langsam mit h gegen 0 und beobachten Sie die Auswirkungen. Tipp: Wenn Sie h anklicken und dann die Pfeiltasten der Tastatur benutzen, ändert sich h mit einer Schrittweite von 10-4, bei gedrückter Strg-Taste10-3, bei gedrückter Shift-Taste 10-5. 4. Bewegen Sie für h = 10-5 wieder den Punkt P entlang der blauen Kurve. Fragen: a) Ab welchem Wert für h in der Nähe von 0 ändert sich der Quotient in den angezeigten 5 Nachkommastellen nicht mehr? Wie groß ist er dann? Welche Vermutung lässt sich daraus ableiten? b) Wie kann man mh(x) und die rote Gerade dann (näherungsweise) interpretieren? c) Welche Bedeutung hat dann die Konstanz von mh(x)/f(x) ? Wie kann man demnach an einer beliebigen Stelle x die Ableitung f'(x) (näherungsweise) berechnen?

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Aufgabe 2

Führen Sie die gleichen Untersuchungen im unteren Applet für die Funktion f(x) = C · ax durch, zunächst mit den Voreinstellungen C = 1 und a = 2. Wir setzen dabei stets voraus, dass der Grenzwert k = lim (ah - 1) / h für h → 0 existiert.

a) Bestimmen Sie einen Näherungswert für k = lim (2h-1)/h für h → 0. b) Berechnen Sie mit dem Wert von a) (näherungsweise) die Ableitung f'(x) an den Stellen x = 0, x = 1, x = 2, x = -1 und kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse mit Hilfe des Applets. c) Bestimmen Sie (näherungsweise) die Gleichung des Tangente an f an der Stelle x = 0. d) Geben Sie in die Eingabezeile C=0.5 und a=3 ein und wiederholen Sie die Untersuchung für diese Werte.

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