Aufgabe 3: Aufstellen einer Formel
In dieser Aufgabe geht es um die allgemeine Version der in Aufgabe 2 behandelten Funktionen.
Leitet euch anhand der untenstehenden Fragen eine allgemeine Form des Interpolationspolynoms her.
Wir betrachten zunächst die Punkte , und .
Wie lautet eine Funktion, die durch die Punkte auf der x-Achse verläuft (P und Q)?
Welchen Funktionswert hat diese Funktion an der Stelle ?
Wie kann man die Funktion anpassen, sodass sie and der Stelle den Wert hat?
Wie kann man die Funktion anpassen, sodass sie durch den Punkt verläuft?
Die Funktion nennt man auch Lagrange-Polynom.
Die eingeklammerte steht dafür, dass das Polynom den Grad 2 hat.
Eine wichtige Eigenschaft des Lagrange-Polynoms ist, dass es an der Stelle den Funktionswert hat. Diese Eigenschaft bezeichnet man als Normiertheit.
Bonusaufgabe:
Im Allgemeinen hat man statt zwei Punkten auf der x-Achse Punkte auf der x-Achse, nämlich , , , , und den Punkt . Wie lautet das Lagrange-Polynom? Hinweis: Versuche, ein Muster in zu erkennen und auf zu übertragen.
Wie lautet dann die zugehörige Interpolationsfunktion?
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