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Author:Walter Füchte
 this activity is a page of geogebra-book elliptic functions & bicircular quartics & . . .(27.04.2023)

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Im Applet oben ist eine 2-teilige bizirkulare Quartik mit der Gleichung in Normalform , vorgegeben: die gestrichelte Kurve. Die Brennpunkte f, -f, 1/f, -1/f, berechnet mit Hilfe von (*) ,
In geogebra wird durch den "Trick" die Wurzelfunktion komplex berechnet! Dies hat die überraschende Folge, dass die Brennpunkte auch dann komplex berechnet werden, wenn sie auf der -Achse oder auf dem Einheitkreis liegen! Warum "Brennpunkte" ? Im Falle konzyklischer Brennpunkte kann man diese 4 Brennpunkte auf 3 verschiedene Weisen aufteilen in die Grund-Punkte-Paare von je 2 verschiedenen elliptischen Kreisbüscheln. Durch jeden Punkt einer solchen bizirkularen Quartik geht aus jedem der 2 Kreisbüschel je 1 Kreis. Die Quartik ist Winkelhalbierende dieser beiden Kreise. Man könnte es auch dynamisch beschreiben: die sich wellenförmig ausbreitenden Kreise des einen Büschels werden an der Quartik reflektiert in die Kreise des anderen Büschels. Da für konfokale bizirkulare Quartiken die Brennpunkte fix sind, und damit konstant ist, kann man aus der Formel (*) 1. zu vorgegebenem das zugehörige berechnen 2. zu vorgegebenem Punkt p0 die beiden orthogonalen bizirkularen Quartiken durch p0 aus der konfokalen Schar berechnen. Der hierzu passende Kalkül? Das Lösen quadratischer Gleichungen! (Ein Schulmeister würde vielleicht sagen: p-q-Formel!) Das Vektorfeld ergibt sich aus der elliptischen Differentialgleichung . Da die komplexe Wurzelfunktion im Spiel ist, wechselt das Feld an manchen Stellen abrupt die Richtung. Die Konstruktion doppelt-berührender Kreise für die Quartiken soll verdeutlichen, dass die Quartiken Lösungskurven der Differentialgleichung sind. Löst man die Sperre Toolbar Imagef fix für die Koeffizienten und , so kann man die verschiedenen Lagen der konfokalen Quartiken und die der stets konzyklischen Brennpunkte erkunden.
Eigentlich unterscheiden sich 2-teilige, 1-teilige bizirkulare Quartiken und Kegelschnitte nur um ein , siehe book Möbiusebene, Bizirkulare Quartiken - Die Formeln Mit berechnet man die Brennpunkte der 1-teiligen Quartiken: , . Die Quartik-Gleichung lautet: . Bei fixen Brennpunkten berechnet man zu das zugehörige und erhält damit konfokale Quartiken. Mit den Lösungen einer quadratischen Gleichung findet man die 2 orthogonalen konfokalen Quartiken durch einen Punkt p0. Die Quartiken sind wieder Winkelhalbierende der Kreise zweier Kreisbüschel: eines ist elliptisch, das andere hyperbolisch.

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