Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen nutzt man, um Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse des Koordinatensystems zu erhalten. Dabei kann man folgende Formeln benutzen:
- Normalform
- allgemeine Form
- Satz von Vieta
Normalform
Aus der allgemein Form einer Parabel kann man die Normalform herleiten. Dabei wird die gesamte Form durch die Steigung a geteilt.
Man erhält dann diese Form
In dieser ersetzt man zur besseren Übersicht durch und durch .
Nun sieht die Normalform folgendermaßen aus:
Diese Form eignet sich jetzt, um direkt in die Lösungsformel: eingesetzt zu werden.
Man erhält dann die Lösungen für und
Die Anzahl der Lösungen hängt von der Diskriminante mit ab.
Die Gleichung hat für
genau eine Lösung
zwei Lösungen
keine Lösung
allgemeine Form
Dies ist die allgemein gültige Form der quadratischen Gleichung:
Jede Parabel kann durch diese Form beschrieben werden.
= Steigung der quadratischen Zuordnung
= Steigung der linearen Zuordnung
= Verschiebung in y-Achsenrichtung
Diese Form kann direkt in die Lösungsformel: eingesetzt zu werden.
Man erhält dann die Lösungen für und
Die Anzahl der Lösungen hängt von der Diskriminante mit ab.
Die Gleichung hat für
genau eine Lösung
zwei Lösungen
keine Lösung
Satz von Vieta
Für die Lösungen und einer quadratischen Gleichung gilt der Satz von Vieta:
und
und
Mit den Lösungen ist eine Zerlegung in Linearfaktoren möglich:
⟺
⟺