2023 - Sess. Straord. - P2 parte (c) e (d)
Una considerazione di carattere generale
Le parti (c) e (d) si riferiscono in particolare alle funzioni che si ottengono dalle famiglie di funzioni assegnate nel problema, posto .
Possiamo osservare che e , e tali funzioni iperboliche soddisfano l'identità fondamentale
Testo parte (c)
Verificare l'identità e determinare il numero intero per cui .
Specificare quale tra e è una funzione invertibile in e ricavare l'espressione analitica della funzione inversa.
Soluzione Parte (c)
, .
CVD
La doppia disequazione equivale al sistema costituito dalle disequazioni
e → e , la cui soluzione è .
Approssimando tali valori a 2 cifre decimali abbiamo l'intervallo che contiene l'unico numero intero .
Poiché la monotonia è condizione sufficiente per l'invertibilità di una funzione, abbiamo che solo la funzione è monotona, dunque invertibile.
Per determinare l'equazione della funzione inversa, risolvi l'equazione rispetto alla , quindi nella soluzione scambia le con le : .
Osserva il grafico di per verificare visualmente che la funzione è monotona crescente.
Il grafico della funzione inversa è simmetrico del grafico di rispetto alla bisettrice del 1°/3° quadrante.
Trascina il punto su per costruire il grafico della funzione inversa, scambiando le con le di ciascun punto di .
Testo parte (d)
(d) Determinare l'equazione della parabola avente il vertice nel punto di minimo assoluto della funzione e retta tangente, per , parallela alla retta di equazione ,
Calcolare l'area della regione finita delimitata da , dal grafico di e dalle rette di equazione e verificare che l'area di può essere approssimata con quella del triangolo isoscele inscritto nel segmento parabolico delimitato da e dall'asse delle ascisse.
Soluzione Parte (d)
La parabola ha equazione generale . Imponendo che il vertice sia in e la tangenza in a una retta parallela a e risolvendo il sistema delle 3 equazioni, si ottiene la parabola di equazione .
Nell'app di seguito puoi visualizzare la parabola e l'area della regione di piano richiesta, oltre al triangolo isoscele inscritto nel segmento parabolico.
L'area richiesta è costituita da due parti uguali, perchè sia la parabola che la funzione sono funzioni pari. Quindi l'area richiesta è .
Il triangolo isoscele inscritto nel segmento parabolico ha per vertici e , quindi ha area 1.
Tale valore costituisce una buona approssimazione dell'area della regione determinata in precedenza.