La solución de un sistema de ecuaciones lineales: evaluación formativa 2

Métodos para hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales

Existen métodos para hallar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales (suponiendo que ésta existe), los cuales se basan en hallar un sistema de ecuaciones lineales equivalente (es decir, que tenga las mismas soluciones que el original), cuyas soluciones sean más fáciles de hallar. La forma de hallar dichos sistemas equivalentes consiste esencialmente de 3 pasos:

Reducir una de las ecuaciones del sistema para que sólo tenga una incógnita. La forma de hacer la reducción es lo que dará nombre al método; a saber:
Sustitución.
Igualación.
Eliminación (a veces llamado suma y resta).
Hallar el valor de una de las incógnitas.
Usar el valor de la primera incógnita para hallar el valor de la segunda incógnita.

Sustitución (pautas)

Resuelve una de las ecuaciones para cualquiera de las variables.
Sustituye esa variable en la otra ecuación. El resultado debería ser una ecuación con solo en la variable.
Resuelve la ecuación del paso 2.
Encuentre el otro valor sustituyendo el valor obtenido en el paso 3 en la ecuación del paso 1.
Verifique que los valores obtenidos sean efectivamente solución del sistema.

Sustitución (ejemplo)

Use el método de sustitución para hallar las soluciones del sistema de ecuaciones lineales a continuación:

. Solución: Dado que la primera de las ecuaciones expresa a

en términos de

, entonces la usaremos para sustituir en la segunda ecuación (si no hubiera sido así, entonces habría necesidad de despejar a una de las dos incógnitas de cualquiera de las dos ecuaciones):

Eliminación (pautas)

Determine la variable a eliminar.
Multiplique ambas ecuaciones (si es necesario) para que los coeficientes de la variable a ser eliminada sean opuestos.
Sume las nuevas ecuaciones.
Resuelva la nueva ecuación para la segunda incógnita.
Halle el valor de la primera incógnita.

Eliminación (ejemplo)

Use el método de eliminación para hallar la solución del sistema de ecuaciones lineales a continuación:

Solución: Será necesario multiplicar los coeficientes de las ecuaciones del sistema para hallar un sistema equivalente, cuyos coeficientes sean opuestos. Para lograrlo es conveniente calcular el mínimo común múltiplo de los coeficientes de la incógnita a eliminar, para después hallar los cocientes. Por ejemplo, si decidimos eliminar

, entonces nos valdremos de que

, y de que

. Lo anterior quiere decir que multiplicaremos todos los coeficientes de la primer ecuación por

, mientras que a los coeficientes de la segunda los multiplicaremos por

(pues es necesario que los signos sean opuestos para que se pueda eliminar):

Por su parte, si la incógnita que se hubiera eliminado fuera y, entonces se tendría que hacer uso de que:

, y de que

, por lo que a los coeficientes de la primer ecuación habría que multiplicarlos por

(para que los signos sean opuestos) y a los de la segunda por

Así pues, la solución del sistema es

Evaluación formativa

Utilice la siguiente hoja dinámica para practicar cómo hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales.