Sección 2.2 - El eje radical de dos círculos.
Teorema 2.21
El conjunto de puntos a los cuales su potencia con respecto a dos círculos no concéntricos es igual a la recta perpendicular a la recta que une los centros de dos círculos.
Demostración:
En términos de coordenadas Cartesianas rectangulares, el cuadrado de la distancia entre cualquier dos puntos y es: .
Por lo tanto, la potencia de con respecto al círculo con centro y radio es: .
Particularmente, el círculo mismo, siendo el conjunto de puntos con potencia cero tiene la siguiente ecuación: (Ecuación 2.22).
La misma ecuación, expresada como , expresa el círculo como el conjunto de puntos los cuales su distancia a tiene el valor constante .
Cuando el círculo se expresa como (Ecuación 2.23, donde ), la potencia de un punto arbitrario es nuevamente expresada por el lado izquierdo de la ecuación, o sea, .
Otro círculo teniendo el centro pero con radio distinto tiene una ecuación de la misma forma con un distinto, y cualquier círculo teniendo un centro distinto tiene una ecuación de la forma (Ecuación 2.24), donde o o ambas. Por lo tanto, podemos utilizar las ecuaciones 2.23 y 2.24 para los dos círculos no concéntricos mencionados en el Teorema. El conjunto de todos los puntos los cuales sus potencias con respecto a los dos círculos son iguales es:
.
Como cancelan, entonces el conjunto de puntos es la recta:
.
Escogiendo al eje de x para que una ambos centros, podemos expresar los dos círculos de manera más simple:
, (Ecuación 2.25), donde . Entonces el conjunto de puntos se convierte en
Esta recta, siendo paralela al eje de y, es perpendicular al eje de x, la cual une a los centros.
Como la recta puede ser definida geométricamente en término de los círculos (conteniendo todos los puntos de potencia igual), pudimos haber tomado esa recta como el eje de y mismo, como en la figura que veremos a continuación. Por lo tanto, cualquier dos círculos no concéntricos pueden ser expresados de manera simple en la forma
, (Ecuación 2.26).
Entonces, el conjunto de puntos es .
Hemos demostrado el Teorema.