Triangle de Sierpinski
On considère un triangle équilatéral de côté 10 cm.
A chaque étape, on construit dans chaque triangle équilatéral coloré, un triangle équilatéral blanc
en ayant pour sommets les milieux des côtés.
L'applet ci-dessous montre les étapes 0 à 4.
L'objectif est de déterminer l'aire de la surface colorée au bout de la quatrième étape.
1. Quelle est l'aire du triangle équilatérale rouge dont la longueur des côtés est 10 cm ?
2. Soit an l'aire de la surface colorée à l'étape n. Que vaut a0 ?
3. Déterminer la relation entre a1 et a0
4. Déterminer la relation entre a2 et a1
5. Déterminer plus généralement la relation entre an+1 et an .
6. Quelle est la nature de la suite an ? Déterminer la raison et le premier terme.
7. En déduire l'aire de la surface colorée au bout de la quatrième étape.