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Erweiterter Satz von Holditch / Satz von Woolhouse

Autor:H.-J. Feldhoff
In diesem Applet wird ein starrer Stab einem beliebigen periodischen Bewegungsvorgang der Ebene (zunächst mit der Umlaufzahl ) unterworfen. Anleitung 1.Teil: Beobachte bei jeder Veränderung die Auswirkung auf die angezeigten Größen:
  • Setze die Häkchen bei , und und beobachte die Orbits.
  • Verändere bzw. .
  • Verschiebe die Ausgangslage des Stabes (, gestrichelte Linie).
  • Verschiebe die Endpunkte des Stabes einzeln.
  • Verändere die Umlaufzahl des Bewegungsvorgangs.
Welche Beziehung besteht zwischen den beige unterlegten Größen? Wie ergibt sich hieraus der Satz von Holditch als Spezialfall? 2.Teil: Lade das Applet neu.
  • Setze das Häkchen bei "Woolhouse-Interpretation".
  • Verändere die Parameter und interpretiere die neu hinzugekommenen Größen geometrisch.
  • Setze das Häkchen bei "vier Punkte". Formuliere den in der Gleichung dargestellten Sachverhalt mit Worten.
Erläuterung und mathematischer Hintergrund 1. Teil Die Endpunkte und des Stabes durchlaufen hier nicht mehr eine vorgegebene Kurve wie beim Satz von Holditch, sondern beliebige Orbits, die man durch Setzen der Häkchen bei und sichtbar machen kann. Aus den zugehörigen orientierten Flächeninhalten und wird das gewichtete arithmetische Mittel mit den Gewichten und gebildet, wobei ist (obere beige hinterlegte Formel). Der Teilungspunkt des Stabes kann als Schwerpunkt von und mit den baryzentrischen Koordinaten (=relativen Massen) und aufgefasst werden. Diese können auch negativ sein, so dass sich außerhalb der Strecke befinden kann. Der Orbit von kann durch Setzen des Häkchens bei (Mitte rechts) sichtbar gemacht werden. Dann gilt: Erweiterter Satz von Holditch Seien , und drei Punkte auf einer Geraden, die einem ebenen periodischen Bewegungsvorgang mit der Umlaufzahl unterworfen wird, seien , und die orientierten Flächeninhalte der von ihren Orbits umlaufenen Flächen und sei mit . Seien weiter und (). Dann gilt: . Der ursprüngliche Satz von Holditch folgt aus dem Spezialfall und . 2. Teil Setzt man das Häkchen bei "Woolhouse-Interpretation", so sieht man die Bahnkurve des Schwerpunkts sowie zwei mitbewegte Kreise um durch bzw. . Diese werden von und während einer Periode mehrfach im oder gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, je nach dem, welchen Wert die Umlaufzahl des Bewegungsvorgangs hat. Diese "relativen Orbits" oder "Orbits im Schwerpunktsystem" schließen den orientierten Flächeninhalt ein, der oben rechts im Fenster angezeigt wird. Eine einfache Umrechnung zeigt, dass das gewichtete arithmetische Mittel aus den Flächen dieser relativen Orbits nichts anderes ist als . Woolhouse hat erkannt, dass sich die erweiterte Holditch-Gleichung in dieser Lesart auf diskrete Massenverteilungen mit beliebig vielen Massenpunkten ausdehnen lässt. Durch Klick auf "vier Punkte" wird dies im Applet visualisiert. Satz von Woolhouse W.S.B. Woolhouse, The Lady's And Gentleman's Diary (1859), 89 Sei ein -periodischer Bewegungsvorgang der euklidischen Ebene mit der Umlaufzahl . Seien und mit . (Falls alle sind, können diese als relative Massen einer diskreten Massenverteilung in den Punkten interpretiert werden, jedoch sind hier auch negative zulässig.) Sei (der Schwerpunkt dieser Massenverteilung). Für einen beliebigen Punkt sei der orientierte Flächeninhalt der vom Orbit von umlaufenen Fläche. Statt schreiben wir auch kurz . Sei . Dann gilt:

.

In Worten: Das gewichtete Mittel der orientierten Flächeninhalte der Orbits der ist gleich der Summe aus dem orientierten Flächeninhalt, der vom Orbit des Schwerpunkts umlaufen wird, und dem gewichteten Mittel der orientierten Flächeninhalte der Orbits der Relativbewegung der bezüglich .

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