CASSINI-Peripheriewinkel 2
geogebra-book Berührorte (21.01.2022) Diese Seite ist auch eine Ativität des GeoGebra-Books Moebiusebene
Welches ist der Ort, in welchem sich die Geraden zweier Geradenbüschel unter konstantem Winkel schneiden? Der Ort, in welchem sich die Geraden zweier Geradenbüschel unter konstantem Winkel (modulo 180°) schneiden, ist ein Kreis: Peripheriewinkelsatz; siehe das Applet unten! Welches ist der Ort, in welchem sich die Kreise zweier elliptischen Kreisbüschel unter konstantem Winkel schneiden? Ein elliptisches Kreisbüschel besteht aus allen Kreisen durch zwei (verschiedene) Grund-Punkte. Der Ort, in welchem sich die Kreise zweier elliptischen Kreisbüschel unter einem konstanten Winkel (modulo 180°) schneiden, ist möbiusgeometrisch eine CASSINI-Kurve, manchmal auch CASSINI-Lemniskate genannt. "Möbiusgeometrisch" bedeutet: es gibt eine geeignete Möbiustransformation, unter der die Kurve sich euklidisch als CASSINI-Kurve outet. CASSINI-Kurven werden oft definiert als Ort der Punkte , die der Gleichung - mit den 2 Brennpunkten genügen; - gewissermaßen das Pendant zur Gärtnerkonstruktion der Ellipsen . Vorausgesetzt ist, dass die 2 Grundpunkt-Paare der beiden Kreisbüschel aus 4 verschiedenen Punkten besteht. Möbiusgeometrisch kann man diese Grundpunkt-Paare repräsentieren durch (*) und , mit ("Normalform", siehe dazu Möbiusebene Kap. Lage von 4 Punkten) Der gesuchte Peripherie-Winkel-Ort für die Kreise entsteht aus einem Peripherie-Winkel-Kreis über der Strecke unter der komplexen Wurzel-Funktion (siehe -Konstruktion). Die komplexen Wurzel-Funktion bildet Kreise ab auf CASSINI-Kurven: mit . Zur Erkundung der Zusammenhänge kann man im obigen Applet die Lage der 4 Grundpunkte durch Bewegen von ändern, die Normalform (*) bleibt dabei erhalten. Der Peripherie-Winkel-Kreis über der Strecke wird durch Bewegen des Mittelpunktes auf der Mittelsenkrechten geändert. Auf dem Kreis ist der Punkt beweglich, mit ihm bewegt sich der Punkt auf der CASSINI-Kurve.Der Zusammenhang des Kreis-Peripherie-Winkels und des CASSINI-Winkel ist angegeben;
zu berücksichtigen ist Orientierung der Winkel: sie sind nur modulo 180° bestimmt.
Daher haben wir verschiedene Gleichungen angeführt.
Die wesentliche Gleichung können wir nicht beweisen,
es dürfte für diesen Zusammenhang auch schwerlich einen elementargeometrischen Beweis geben!?
Bemerkenswert ist, dass bei jeder Lage der 4 Grundpunkte die CASSINI-Winkel und auf dieselbe Weise
bestimmt sind:
- Die Kreise der beiden Büschel berühren sich auf der CASSINI-Kurve, , wenn der Mittelpunkt des Peripheriekreises auf der -Achse liegt.
- Die Kreise der beiden Büschel schneiden sich rechtwinklig auf der CASSINI-Kurve, , wenn der Mittelpunkt auf der -Achse liegt.