Flächeninhalt eines Dreiecks
Kurzinformationen
Thema: Flächeninhalt eines Dreiecks
Klassenstufe: 6
Dauer: 20-25 Minuten
Besondere Materialien: Papier und Schere (Schüler), GeoGebra (Lehrkraft)
Vorwissen
Die Schüler wissen bereits, wie sie ...
... die Länge einer Strecke mit dem Lineal oder Geodreieck abmessen können
... ein Lot fällen bzw. die Höhe eines Dreiecks einzeichnen können
... den Flächeninhalt eines Rechtecks mithilfe gegebener Seitenlängen bestimmen können
... den Flächeninhalt eines Rechtecks durch Abzählen von Kästchen bestimmen können
... den Flächeninhalt eines allgemeinen Parallelogramms bestimmen können.
Unterrichtsziel
Ziel der Stunde ist es, dass die Schülerinnen und Schüler ...
... den Flächeninhalt eines Dreiecks auf ein allgemeines Parallelogramm oder Rechteck zurückführen können
... den Flächeninhalt eines Dreiecks rechnerisch bestimmen können
Unterrichtsablauf (Skizze)
Teil 1: Die Schüler probieren selbst aus, den Flächeninhalt zu bestimmen.
Teil 2: Tafelbild (bzw Visualisierung mit GeoGebra durch Lehrkraft)
Teil 3: Konkrete Formel
Verwendetes didaktisches Prinzip
In der Stunde wird das sogenannte EIS-Prinzip nach Jerome Bruner verwendet. EIS steht dabei für die Begriffe Enaktiv, Ikonisch und Symbolisch.
Enaktiv ist die eigene Handlung der Schülerinnen und Schüler, durch die sie etwas selbst herausfinden und begreifen können.
Ikonisch ist die bildliche Darstellung, die im vorgestellten Unterrichtsentwurf insbesondere die enaktive Phase sichern soll.
Symbolisch ist das mathematische Aufschreiben einer konkreten Formel.
Unterrichtsteil 1 (ca 10-15 Minuten)
Im ersten Teil des Unterrichts sollen die Schülerinnen und Schüler selbst versuchen, den Flächeninhalt von Dreiecken zu bestimmen. Dazu bekommen die Kinder unterschiedliche Materialien und Hilfestellungen zur Verfügung. Die Klasse kann in unterschiedliche Gruppen aufgeteilt werden.
Gruppe 1 erhält Einheitsquadrate, die sie aus- bzw. zerschneiden und in ein Dreieck legen sollen. Diese können sie abzählen. In einem zweiten Schritt sollen sie versuchen, die verwendeten Einheitsquadrate zu einem Rechteck zusammen zu legen. So können sie den Flächeninhalt eines Dreiecks auf den eines Rechtecks zurückführen.
Gruppe 2 soll ein Dreieck auf ein Stück Papier aufzeichnen und dieses ausschneiden. Nun können sie selbst versuchen, dieses Dreieck auf ein Parallelogramm mit gleichem Flächeninhalt zurückzuführen. Dafür sollten sie die Höhe einzeichnen, die Spitze umklappen, abschneiden und an eine der anderen Seiten dranlegen. So sehen die Schüler den Zusammenhang zwischen dem Dreieck und dem (allgemeinen) Parallelogramm.
Gruppe 3 soll zunächst ein Blatt in der Mitte falten und anschließend ein Dreieck aufzeichnen und dieses so ausschneiden, dass sie zwei kongruente Dreiecke erhalten. Nun sollen sie versuchen, das Dreieck zu einem Rechteck zu ergänzen. Dazu müssen sie (wenn sie kein rechtwinkliges Dreieck gezeichnet haben) die Höhe eines Dreieckes einzeichnen und dieses dann entlang der Höhe teilen. Die entstandenen Teildreiecke können an das andere Dreieck angelegt werden, sodass ein Rechteck entsteht.
Die Gruppen können anschließend ihre Ergebnisse präsentieren.
Gruppe 2 soll ein Dreieck auf ein Stück Papier aufzeichnen und dieses ausschneiden. Nun können sie selbst versuchen, dieses Dreieck auf ein Parallelogramm mit gleichem Flächeninhalt zurückzuführen. Dafür sollten sie die Höhe einzeichnen, die Spitze umklappen, abschneiden und an eine der anderen Seiten dranlegen. So sehen die Schüler den Zusammenhang zwischen dem Dreieck und dem (allgemeinen) Parallelogramm.
Gruppe 3 soll zunächst ein Blatt in der Mitte falten und anschließend ein Dreieck aufzeichnen und dieses so ausschneiden, dass sie zwei kongruente Dreiecke erhalten. Nun sollen sie versuchen, das Dreieck zu einem Rechteck zu ergänzen. Dazu müssen sie (wenn sie kein rechtwinkliges Dreieck gezeichnet haben) die Höhe eines Dreieckes einzeichnen und dieses dann entlang der Höhe teilen. Die entstandenen Teildreiecke können an das andere Dreieck angelegt werden, sodass ein Rechteck entsteht.
Die Gruppen können anschließend ihre Ergebnisse präsentieren.Unterrichtsteil 2 (ca 5-7 Minuten)
Die Lehrkraft hält insbesondere die Ergebnisse der dritten Gruppe fest. Dazu kann sie entweder ein Tafelbild erzeugen, oder aber folgendes Applet zeigen und damit arbeiten:
Wichtig ist, dass die Schüler am Ende zur Ergebnissicherung eine Zeichnung mit Beschriftung in ihrem Heft stehen haben. Dies ist insbesondere im dritten Teil wichtig.
Unterrichtsteil 3 (ca. 5-7 Minuten)
Im dritten Unterrichtsteil rückt die Formalisierung in den Mittelpunkt. Im zweiten Teil wurde eine Skizze an der Tafel (oder mit GeoGebra) erzeugt, die den Flächeninhalt eines Dreiecks auf den eines Rechtecks mit doppeltem Flächeninhalt zurückführt.
Dies muss jetzt für die Schüler kompakt, beispielsweise mit einem Regelheftaufschrieb, zusammengefasst werden. Dieser könnte so aussehen:
Flächeninhalt eines Dreiecks
Der Flächeninhalt eines Dreiecks lässt sich mithilfe der Grundseite g und der dazugehörigen Höhe hg berechnen. Es gilt:
Hinweise zum Regelhefteintrag:
Hier muss deutlich gemacht werden, dass die Seite g nicht zwingend die längste Seite sein muss, jedoch die Höhe h immer auf der gewählten Seite g liegen muss. Im besten Fall wurde das aber bereits zuvor behandelt, beispielsweise bei der Einführung von Dreiecken.
Kein GeoGebra für Schüler?
Ich habe in dem Unterrichtsentwurf bewusst auf den Einsatz von GeoGebra für Schülerinnen und Schüler verzichtet und es lediglich als Visualisierungshilfe für die Lehrkraft verwendet.
Es gibt durchaus gute Applets, mit denen auch der erste Unterrichtsteil gestaltet werden kann. Dabei ist das Problem jedoch, dass die Applets nur der Visualisierung dienen und das, was "entdeckt" bzw. herausgefunden werden soll, lediglich durch einen Schieberegler oder ähnliches verdeckt wird. Die Schüler können so nicht mithilfe von eigenem herumprobieren auf die Lösung kommen und das ist insbesondere für ein grundlegendes Verständnis wichtig.
Quellen
- Verwendetes Applet: https://www.geogebra.org/m/esurp38n (angepasst, abgerufen am 01.12.2022)
- Weigand, Hans-Georg et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I, Berlin/Heidelberg3, 2018
- Buck, Heidi et al.: Lambacher Schweizer 5. Mathematik für Gymnasien, Stuttgart1, 2014
- Buck, Heidi et al.: Lambacher Schweizer 6. Mathematik für Gymnasien, Stuttgart1, 2015