Beschränktes Wachstum: Abkühlungsprozess
Ein Getränk mit einer Temperatur von 24 °C wird in den Kühlschrank gestellt. Bei 4 °C sinkt die Temperatur des Getränks nach einer Minute auf 23,02 °C. Dieser Vorgang setzt sich so lange fort, bis die Grenze von 4 °C (Kühlschranktemperatur) erreicht ist.
a) Gib die explizite Darstellung für das beschränkte Wachstum an.
b) Gib die Temperatur des Getränks nach 10 und nach 20 Minuten an.
c) Stelle das beschränkte Wachstum grafisch dar.
(Bleier,G. u.a.: Dimensionen Mathematik 6. E. Dorner: Wien 2012)
Diese Aufgabe kann auch mithilfe eine kontinuierlichen Modells bearbeitet werden.
Die entsprechende Differentialgleichung lautet
und die Lösung ist
,
wie man durch Einsetzen zeigen kann. In GeoGebra bietet derTrend-Befehl die Möglichkeit, diese Lösung rasch zu ermitteln.
Die Werte für G =4 und f0 = 24 sind gegeben, während die Schieberegler für k und a als Parameter für die Optimierung dienen.