Le plus court chemin
C'est d'aller en ligne courbe...
L'appliquette GeoGebra ci-dessous emploie judicieusement l'inégalité triangulaire afin de montrer que l'arc de grand cercle reliant deux points et est le plus court chemin pour se promener sur la sphère en partant de pour se rendre à .
En fait, l'appliquette montre que peu importe le chemin reliant et que l'on puisse imaginer, l'arc de grand cercle reliant ces points sera toujours plus court. D'où l'on conclut que l'arc de grand cercle est le plus court chemin entre et .
... sur un segment (arc) de grand cercle
Si l'on définit un segment de droite comme étant le plus court chemin entre deux points, nous devons conclure que sur la sphère :
- les arcs de grands cercles sont des segments de droite; et donc
- les grands cercles sont des droites.